A search of the internet indicates that the "official" version of base 3/2 allows the use of the digit 2. This then allows the conversion to take place in the usual way: right to left from the radix point for the integer part and left to right for the fractional part. The only modification from the method for integral base is in doing the integer part. To get each new digit, instead of taking the number (or what's left of the number after previous divisions) mod the base, it takes the remainder mod 3. It then compensates for that by multiplying the quotient of the division by 3, by 2, achieving the base 2/3.

The program based on that:

clearvars,clc

for num=1:16

for den=1:16

 if gcd(num,den)==1

  n=sym(num)/sym(den);

  intpart=floor(n);

  fracpart=n-intpart;

  buildInt='';

  while intpart>0

    d=char(string(mod(intpart,3)));

    intpart=floor(intpart/3)*2;

    buildInt=[d buildInt];

  end

  if fracpart==0

    rep=buildInt;

  else

    buildFrac='.';

    diggoal=floor((15-length(buildInt))*log(10)/log(3/2));

    for i=1:diggoal

      d=char(string(floor(3/2 * fracpart)));

      fracpart=3/2 * fracpart - floor(3/2 * fracpart);

      buildFrac=[buildFrac d];

      if fracpart==0

        buildFrac=[buildFrac '  *'];

        break

      end

    end

    rep=[buildInt buildFrac];

  end

  fprintf('%s %s\n',n,rep)

 % disp([char(string(n)) ' ' rep]);

 end

end

end

1 1

1/2 .0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100

1/3 .0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010010

1/4 .0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010010

1/5 .0001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001000000

1/6 .0000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001

1/7 .0000100000010100000000000100100100010000100000100001000000010001001000100000010010001

1/8 .0000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010010000

1/9 .0000010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100

1/10 .0000010000100000001001010000000100101000000100010000001001001001000000010000001000001

1/11 .0000010000000010010001000010010000100010000000000101000000100101000000100010000001000

1/12 .0000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001000

1/13 .0000001001000000100000000101000000100001000001010000001000100100100100001000100100101

1/14 .0000001000100000100100000010010001001000010001000000100010010000100000001000001000000

1/15 .0000001000010000000100101000000010010100000010001000000100100100100000001000000100000

1/16 .0000001000000100001000100000010001001001000001001000000100010001000001010000010010000

2 2

2/3 .1  *

2/5 .0010010000100100010010001000100001000001001000010000001000010000010001000001000100010

2/7 .0001010000000000000100100000000010010000101000001000010001000000100000100000100100010

2/9 .0001000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001

2/11 .0000100100010010100000100001010000010000000100001000101000000100100010001001000100101

2/13 .0000100001000100100100010001001010000000010000100010001000000100010010010000010100000

2/15 .0000100000000001000000100100100000001000000010100000010010000100001000000010000100000

3 20

3/2 1.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000

3/4 .1000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001000

3/5 .0100100001001000100100010001000010000010010000100000010000100000100010000010001000100

3/7 .0010100000000000001001000000000100100001010000010000100010000001000001000001001000100

3/8 .0010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100100

3/10 .0010000000000100000010010010000000100000001010000001001000010000100000001000010000000

3/11 .0001001000100101000001000010100000100000001000010001010000001001000100010010001001010

3/13 .0001000010001001001000100010010100000000100001000100010000001000100100100000101000001

3/14 .0001000000101000000000001001001000100001000001000010000000100010010001000000100100010

3/16 .0000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000100100000

4 21

4/3 1.0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000

4/5 .1000100000000001000000100100100000001000000010100000010010000100001000000010000100000

4/7 .0100010100000000000001001000000000100100001010000010000100010000001000001000001001000

4/9 .01  *

4/11 .0010001000010000100000100000000000101000000000000010000100100100100100010010010100000

4/13 .0010000000010100000010010000000100100100100100000100100100000101000000000010000100010

4/15 .0001001000010010001001000100010000100000100100001000000100001000001000100000100010001

5 22

5/2 2.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010000000

5/3 1.1  *

5/4 1.0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000

5/6 .1000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001

5/7 .1000000100010000010010000001001000100100001000100000010001001000010000000100000100000

5/8 .0100100100010001001001000100100001000000100100001000000010000000000100001001000010001

5/9 .0100010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100

5/11 .0100000000010010000000100010000100100101000000000001001001000010000000100010010001000

5/12 .0010010010001000100100100010010000100000010010000100000001000000000010000100100001000

5/13 .0010010000000000001000010001010000000010000010000000010000000000100000000000001000010

5/14 .0010001000000010000000000100100000101000000100010100000010000100100100001001000001001

5/16 .0010000000100100100010000000000010000100000000001000010000000010000000100000100000000

6 210

6/5 1.0001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001

6/7 .1000101000000000000010010000000001001000010100000100001000100000010000010000010010001

6/11 .0100010000100001000001000000000001010000000000000100001001001001001000100100101000000

6/13 .0100000000101000000100100000001001001001001000001001001000001010000000000100001000100

7 211

7/2 20.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010

7/3 2.0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000

7/4 1.1000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001

7/5 1.0010010000100100010010001000100001000001001000010000001000010000010001000001000

7/6 1.0000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000

7/8 .1001000000010010010001000000000001000010000000000100001000000001000000010000010000000

7/9 .1000010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000100

7/10 .1000000010001001001010000000100000100100100010010010000010000100001000000010100000100

7/11 .0100101000000001000001001000100000100000100010100000100100000000010100000001001010000

7/12 .0100100000001001001000100000000000100001000000000010000100000000100000001000001000000

7/13 .0100010000001000100000010001000001000100001001001000100100010000100000100010010010000

7/15 .0100000001000100100101000000010000010010010001001001000001000010000100000001010000010

7/16 .0010100000010001000010010100000000001000100100000100000010000010000000001010000000100

8 212

8/3 2.1  *

8/5 1.0100100001001000100100010001000010000010010000100000010000100000100010000010001

8/7 1.0000100000010100000000000100100100010000100000100001000000010001001000100000010

8/9 .1001000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001001

8/11 .1000001000000001001000100001001000010001000000000010100000010010100000010001000000100

8/13 .0100100100000000000010000100010100000000100000100000000100000000001000000000000010000

8/15 .0100010000000000100000010010010000000100000001010000001001000010000100000001000010000

9 2100

9/2 21.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010

9/4 2.0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000

9/5 1.1000100000000001000000100100100000001000000010100000010010000100001000000010000

9/7 1.0001010000000000000100100000000010010000101000001000010001000000100000100000100

9/8 1.0000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001000000010

9/10 .1001000010010001001000100010000100000100100001000000100001000001000100000100010001001

9/11 .1000100001000010000010000000000010100000000000001000010010010010010001001001010000001

9/13 .1000000001010000001001000000010010010010010000010010010000010100000000001000010001000

9/14 .0101000000000000010010000000001001000010100000100001000100000010000010000010010001000

9/16 .0100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000001001000

10 2101

10/3 20.0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001

10/7 1.0010100000000000001001000000000100100001010000010000100010000001000001000001001

10/9 1.0000010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100

10/11 .1001000100001000010000010000000000010100000000000001000010010010010010001001001010000

10/13 .1000010000100010010010001000100101000000001000010001000100000010001001001000001010000

11 2102

11/2 22.0100000100100101000000000100000010000100000010010010100000000000100010010

11/3 20.1  *

11/4 2.1000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001

11/5 2.0001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001

11/6 1.1000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000

11/7 1.0100010100000000000001001000000000100100001010000010000100010000001000001000001

11/8 1.0010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100000

11/9 1.0001000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000

11/10 1.0000010000100000001001010000000100101000000100010000001001001001000000010000001

11/12 .1001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010010

11/13 .1000100100010000100000001010000010001001010000010001000100000010100000001000001001010

11/14 .1000010010001000000000100001001001000100010001000000100100100000001010000000000001000

11/15 .1000001000010000000100101000000010010100000010001000000100100100100000001000000100000

11/16 .1000000001000100000000010000010010000010000010010010010001000100010000100100000100001

12 2120

12/5 2.0010010000100100010010001000100001000001001000010000001000010000010001000001000

12/7 1.1000000100010000010010000001001000100100001000100000010001001000010000000100000

12/11 1.0000010000000010010001000010010000100010000000000101000000100101000000100010000

12/13 .1001001000000000000100001000101000000001000001000000001000000000010000000000000100001

13 2121

13/2 210.01000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000

13/3 21.0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001

13/4 20.0001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100

13/5 2.0100100001001000100100010001000010000010010000100000010000100000100010000010001

13/6 2.0000100010010000100010001000001001000100000100100100000100000100100010010001000

13/7 1.1000101000000000000010010000000001001000010100000100001000100000010000010000010

13/8 1.0100100100010001001001000100100001000000100100001000000010000000000100001001000

13/9 1.01  *

13/10 1.0010000000000100000010010010000000100000001010000001001000010000100000001000010

13/11 1.0000100100010010100000100001010000010000000100001000101000000100100010001001000

13/12 1.0000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100000001

13/14 .1001001000001000010000000100001001001010000010001000001000001010000010010000010000100

13/15 .1001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000100001000000

13/16 .1000100000100010000100000000000000010100000100010001001000100001001001000100000000000

14 2122

14/3 21.1  *

14/5 2.1000100000000001000000100100100000001000000010100000010010000100001000000010000

14/9 1.0100010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100

14/11 1.0001001000100101000001000010100000100000001000010001010000001001000100010010001

14/13 1.0000001001000000100000000101000000100001000001010000001000100100100100001000100

14/15 .1001001000010010001001000100010000100000100100001000000100001000001000100000100010001

15 21010

15/2 211.01000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000

15/4 20.1000001001001010000000001000000100001000000100100101000000000001000100100

15/7 2.0000100000010100000000000100100100010000100000100001000000010001001000100000010

15/8 1.1001000000010010010001000000000001000010000000000100001000000001000000010000010

15/11 1.0010001000010000100000100000000000101000000000000010000100100100100100010010010

15/13 1.0000100001000100100100010001001010000000010000100010001000000100010010010000010

15/14 1.0000001000100000100100000010010001001000010001000000100010010000100000001000001

15/16 .1001001000100010010010001001000010000001001000010000000100000000001000010010000100010

16 21011

16/3 22.0010000010010010100000000010000001000010000001001001010000000000010001001

16/5 20.0001000000000010000001001001000000010000000101000000100100001000010000000

16/7 2.0001010000000000000100100000000010010000101000001000010001000000100000100000100

16/9 1.1000010001001000010001000100000100100010000010010010000010000010010001001000100

16/11 1.0100000000010010000000100010000100100101000000000001001001000010000000100010010

16/13 1.0001000010001001001000100010010100000000100001000100010000001000100100100000101

16/15 1.0000001000010000000100101000000010010100000010001000000100100100100000001000000

The integers now do not extend past the radix point. However, this method, using conventional multiplication by the base for doing the fractional part, still produces.

.1000001000100100001000100010000010010001000001001001000001000001001000100100010000010

for 20/27, rather than .011.

An asterisk marks the finite representations. The other ones, except the integers, presumably would go on forever if they hadn't been cut off.

As all the online info I found about fractionl-base numeration actually limit themselves to representing integers, we might as well use the look-ahead method for the fractional part.  But I'm not sure we can always look ahead far enough to find all finite possibilities, so the method used here has at least the advantage of working exactly like conventional base conversion for the fractional part, and almost the same for the integral part.

So not only are there greedy algorithms vs look-ahead algorithms, but also choice as to whether or not to allow 2's. And in doing the fractional part you can swich strategies midstream, so there are apparently infinitely many ways of expressing the same number in base-3/2.