N values up to 10^8  with my definition of "exact" and no trailing zeros:

[6894, 579492, 730971, 2292309, 2906289, 5324499, 5920119, 7292088, 7893621, 7934391, 8250237, 8494146, 9419976, 22716252, 23488173, 24272199, 24426189, 24933087, 27130293, 27575037, 28274238, 30828231, 31052907, 48755196, 52094736, 52235892, 53376966, 53547345, 54022374, 54542646, 57842469, 60228279, 61306623, 66317535, 71397864, 71465994, 72034776, 74244906, 74695122, 75395682, 76813065, 77984271, 82153485, 82500435, 82506717, 84380958, 87264504, 87907491, 89179353, 89233416, 90815346, 93047805, 93138201, 93215655, 93641004, 94235976, 94361211, 98219016, 98474931, 98869932]

 N          N^2             N^3

6894    47527236       327652764984

579492  335810978064   194599775300263488

730971  534318602841   390571403437288611

2292309 5254680551481  12045351520284859629

2906289 8446515751521  24548015816972215569

5324499 28350289601001 150951088630240223499

5920119 35047808974161 207487199816301045159

7292088 53174547399744 387753478999104425472

7893621 62309252491641 491845623962319722061

7934391 62954560540881 499506098564521338471

8250237 68066410556169 561564018827696062053

8494146 72150516269316 612857019166945424136

9419976 88735947840576 835890498995477746176

22716252 516028104927504  11722224470615622595008

23488173 551694270877929  12958290477489658233717

24272199 589139644295601  14299714685132042296599

24426189 596638709063721  14573609872306462189269

24933087 621658827349569  15499873626624783289503

27130293 736052798265849  19969328080422375263757

27575037 760382665551369  20967580136737625575653

28274238 799432534480644  22603345744848934849272

30828231 950379826589361  29298528831836763050391

31052907 964283033150649  29943791350105020386643

48755196 2377069136998416 115894471679908623769536

52094736 2713861518909696 141377899368159620960256

52235892 2728588413035664 142530249655782336852288

53376966 2849100499365156 152076340485196953396696

53547345 2867318156549025 153537274553494651088625

54022374 2918416892595876 157659808859732244129624

54542646 2974900232681316 162258930276454649402136

57842469 3345751220015961 193526511225485403647709

60228279 3627445591301841 218474805130247252961639

61306623 3758502023664129 230421066609513835226367

66317535 4398015448476225 291665543434862748105375

71397864 5097654983762496 363961677249596897708544

71465994 5107388298408036 365004581489698910327784

72034776 5189008953370176 373789097618015073240576

74244906 5512306066948836 409260645783846035629416

74695122 5579361250594884 416751069295257432955848

75395682 5684508864245124 428587422654806539154568

76813065 5900246954694225 453216052846979560049625

77984271 6081546523401441 474264972180045816734511

82153485 6749195097645225 554469898216470527359125

82500435 6806321775189225 561524507203083269812875

82506717 6807358350118089 561652788910780085703813

84380958 7120146072997764 600804746739489258177912

87264504 7615093658366016 664527371010855836696064

87907491 7727726973915081 679325089409897217771771

89179353 7952957001498609 709239559830465981019977

89233416 7962602531029056 710530224093968662135296

90815346 8247427069099716 748992942890056617041736

93047805 8657894015318025 805598034047978603185125

93138201 8674724485516401 807948232751648145134601

93215655 8689158337079025 809965585789532102136375

93641004 8768637630128016 821104031397368066768064

94235976 8880419172672576 836854968025912727794176

94361211 8904038141386521 840195821811421340636931

98219016 9646975104008256 947516402092188560196096

98474931 9697312035454761 954942133576877143096491

98869932 9775263453684624 966479632947883924325568

sols = []

for n in range(1, 100000000):

    if n%10 == 0:

        continue

    a = ''.join(sorted(( str(n) + str(n**2) )))

    b = ''.join(sorted(( str(n**3) )))

    if a == b:

        print(n, n**2, n**3)

        sols.append(n)