All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers > Sequences
Generalizing II (Posted on 2015-11-20) Difficulty: 3 of 5
1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27 ... is a sequence of all possible sums of distinct positive powers of three in an ascending order.

What is the n'th (e.g. 666th) number in the above sequence?

No Solution Yet Submitted by Ady TZIDON    
Rating: 4.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution a way to calculate | Comment 1 of 2
DefDbl A-Z
Dim crlf$, ttl


Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
 
 Open "genlii.txt" For Output As #2
 
 ttl = 0
 addIn 0
 
 Close 2

 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
  
End Sub

Sub addIn(wh)
  DoEvents
  pwr = Int(3 ^ wh + 0.5)
  For addend = 0 To pwr Step pwr
    ttl = ttl + addend
    If ttl > 0 Then
     Print #2, mform(ttl, "############0")
    ' Text1.Text = Text1.Text & ttl & crlf
    End If
    If wh < 15 Then
      addIn wh + 1
    End If
    ttl = ttl - addend
  Next
End Sub

Function mform$(x, t$)
  a$ = Format$(x, t$)
  If Len(a$) < Len(t$) Then a$ = Space$(Len(t$) - Len(a$)) & a$
  mform$ = a$
End Function

After sorting the output, the following are the first 666 lines, to show the exemplified case:

            1
            3
            4
            9
           10
           12
           13
           27
           28
           30
           31
           36
           37
           39
           40
           81
           82
           84
           85
           90
           91
           93
           94
          108
          109
          111
          112
          117
          118
          120
          121
          243
          244
          246
          247
          252
          253
          255
          256
          270
          271
          273
          274
          279
          280
          282
          283
          324
          325
          327
          328
          333
          334
          336
          337
          351
          352
          354
          355
          360
          361
          363
          364
          729
          730
          732
          733
          738
          739
          741
          742
          756
          757
          759
          760
          765
          766
          768
          769
          810
          811
          813
          814
          819
          820
          822
          823
          837
          838
          840
          841
          846
          847
          849
          850
          972
          973
          975
          976
          981
          982
          984
          985
          999
         1000
         1002
         1003
         1008
         1009
         1011
         1012
         1053
         1054
         1056
         1057
         1062
         1063
         1065
         1066
         1080
         1081
         1083
         1084
         1089
         1090
         1092
         1093
         2187
         2188
         2190
         2191
         2196
         2197
         2199
         2200
         2214
         2215
         2217
         2218
         2223
         2224
         2226
         2227
         2268
         2269
         2271
         2272
         2277
         2278
         2280
         2281
         2295
         2296
         2298
         2299
         2304
         2305
         2307
         2308
         2430
         2431
         2433
         2434
         2439
         2440
         2442
         2443
         2457
         2458
         2460
         2461
         2466
         2467
         2469
         2470
         2511
         2512
         2514
         2515
         2520
         2521
         2523
         2524
         2538
         2539
         2541
         2542
         2547
         2548
         2550
         2551
         2916
         2917
         2919
         2920
         2925
         2926
         2928
         2929
         2943
         2944
         2946
         2947
         2952
         2953
         2955
         2956
         2997
         2998
         3000
         3001
         3006
         3007
         3009
         3010
         3024
         3025
         3027
         3028
         3033
         3034
         3036
         3037
         3159
         3160
         3162
         3163
         3168
         3169
         3171
         3172
         3186
         3187
         3189
         3190
         3195
         3196
         3198
         3199
         3240
         3241
         3243
         3244
         3249
         3250
         3252
         3253
         3267
         3268
         3270
         3271
         3276
         3277
         3279
         3280
         6561
         6562
         6564
         6565
         6570
         6571
         6573
         6574
         6588
         6589
         6591
         6592
         6597
         6598
         6600
         6601
         6642
         6643
         6645
         6646
         6651
         6652
         6654
         6655
         6669
         6670
         6672
         6673
         6678
         6679
         6681
         6682
         6804
         6805
         6807
         6808
         6813
         6814
         6816
         6817
         6831
         6832
         6834
         6835
         6840
         6841
         6843
         6844
         6885
         6886
         6888
         6889
         6894
         6895
         6897
         6898
         6912
         6913
         6915
         6916
         6921
         6922
         6924
         6925
         7290
         7291
         7293
         7294
         7299
         7300
         7302
         7303
         7317
         7318
         7320
         7321
         7326
         7327
         7329
         7330
         7371
         7372
         7374
         7375
         7380
         7381
         7383
         7384
         7398
         7399
         7401
         7402
         7407
         7408
         7410
         7411
         7533
         7534
         7536
         7537
         7542
         7543
         7545
         7546
         7560
         7561
         7563
         7564
         7569
         7570
         7572
         7573
         7614
         7615
         7617
         7618
         7623
         7624
         7626
         7627
         7641
         7642
         7644
         7645
         7650
         7651
         7653
         7654
         8748
         8749
         8751
         8752
         8757
         8758
         8760
         8761
         8775
         8776
         8778
         8779
         8784
         8785
         8787
         8788
         8829
         8830
         8832
         8833
         8838
         8839
         8841
         8842
         8856
         8857
         8859
         8860
         8865
         8866
         8868
         8869
         8991
         8992
         8994
         8995
         9000
         9001
         9003
         9004
         9018
         9019
         9021
         9022
         9027
         9028
         9030
         9031
         9072
         9073
         9075
         9076
         9081
         9082
         9084
         9085
         9099
         9100
         9102
         9103
         9108
         9109
         9111
         9112
         9477
         9478
         9480
         9481
         9486
         9487
         9489
         9490
         9504
         9505
         9507
         9508
         9513
         9514
         9516
         9517
         9558
         9559
         9561
         9562
         9567
         9568
         9570
         9571
         9585
         9586
         9588
         9589
         9594
         9595
         9597
         9598
         9720
         9721
         9723
         9724
         9729
         9730
         9732
         9733
         9747
         9748
         9750
         9751
         9756
         9757
         9759
         9760
         9801
         9802
         9804
         9805
         9810
         9811
         9813
         9814
         9828
         9829
         9831
         9832
         9837
         9838
         9840
         9841
        19683
        19684
        19686
        19687
        19692
        19693
        19695
        19696
        19710
        19711
        19713
        19714
        19719
        19720
        19722
        19723
        19764
        19765
        19767
        19768
        19773
        19774
        19776
        19777
        19791
        19792
        19794
        19795
        19800
        19801
        19803
        19804
        19926
        19927
        19929
        19930
        19935
        19936
        19938
        19939
        19953
        19954
        19956
        19957
        19962
        19963
        19965
        19966
        20007
        20008
        20010
        20011
        20016
        20017
        20019
        20020
        20034
        20035
        20037
        20038
        20043
        20044
        20046
        20047
        20412
        20413
        20415
        20416
        20421
        20422
        20424
        20425
        20439
        20440
        20442
        20443
        20448
        20449
        20451
        20452
        20493
        20494
        20496
        20497
        20502
        20503
        20505
        20506
        20520
        20521
        20523
        20524
        20529
        20530
        20532
        20533
        20655
        20656
        20658
        20659
        20664
        20665
        20667
        20668
        20682
        20683
        20685
        20686
        20691
        20692
        20694
        20695
        20736
        20737
        20739
        20740
        20745
        20746
        20748
        20749
        20763
        20764
        20766
        20767
        20772
        20773
        20775
        20776
        21870
        21871
        21873
        21874
        21879
        21880
        21882
        21883
        21897
        21898
        21900
        21901
        21906
        21907
        21909
        21910
        21951
        21952
        21954
        21955
        21960
        21961
        21963
        21964
        21978
        21979
        21981
        


That site gives

a(2n+1) = 3a(n+1), a(2n+2) = a(2n+1) + 1, a(0) = 0

but surely this must be on the basis that a(2)=1 and a(1)=0 also, making a(3)=3*a(2)=3, a(4)=a(3)+1=4, a(5)=3*a(3)=9, a(6)=a(5)+1=10, a(7)=3*a(4)=12, etc.

which could be used to build the above table, or recursively as follows:
        
The example given in the puzzle statement, the 666th number in the sequence, is a(667) -- only on the basis of that formula -- and by the above table is 21,981.  

The recursion:

a(667)=3*a(334)
a(334)=a(333)+1
a(333)=3*a(167)
a(167)=3*a(84)
a(84)=a(83)+1
a(83)=3*a(42)
a(42)=a(41)+1
a(41)=3*a(21)
a(21)=3*a(11)
a(11)=3*a(6)
a(6)=a(5)+1
a(5)=3*a(3)
a(3)=3*a(2)

On the basis that a(2)=1 we can fill this in from bottom to top:

a(667)=3*a(334)       21981  -- last calculated
a(334)=a(333)+1        7327  ^
a(333)=3*a(167)        7326    |
a(167)=3*a(84)         2442   |
a(84)=a(83)+1           814 |
a(83)=3*a(42)           813 |
a(42)=a(41)+1           271 |
a(41)=3*a(21)           270 |
a(21)=3*a(11)            90 |
a(11)=3*a(6)             30 |
a(6)=a(5)+1              10 |
a(5)=3*a(3)               9 ^
a(3)=3*a(2)               3 -- first calculated





  Posted by Charlie on 2015-11-20 14:45:19
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (2)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information