The smallest integer whose first four multiples all contain a 3 is 1183, where the multiples are 1183, 2366, 3549, 4732.

For 5 and 6 multiples, etc. refer to the following table (3465 and 7673).

The program considered only numbers of two or more digits, so the reporting of 13 as the first with a single multiple was removed manually, as that of course would be 3 itself, a single digit number.

The reporting is for the lowest number that has exactly that many initial multiples as listed--no more, no less. So some lower number may appear later, representing a larger number of multiples, and therefore being a better answer for the lower number of multiples. As a result:

Some numbers of multiples are left out, such as 9, as 10 has a smaller number than the first number that has exactly 9 multiples and fail on the tenth. The same is true for example with 21, which serves also for 19 and 20. Despite that, for example, there shows up 53465 as the first number whose first 7 multiples, but not 8, have a 3; however 7673 has its first 8 multiples contain a 3, and therefore its first 7 also as well as for 6, and therefore fits as one of the asked-for answers, and 65913, shown for 11 multiples, could also serve for 7 or 10.

2 153

     153

     306

3 1153

     1153

     2306

     3459

4 1183

     1183

     2366

     3549

     4732

5 3465

     3465

     6930

     10395

     13860

     17325

6 34566

     34566

     69132

     103698

     138264

     172830

     207396

7 53465

     53465

     106930

     160395

     213860

     267325

     320790

     374255

8 7673

     7673

     15346

     23019

     30692

     38365

     46038

     53711

     61384

10 173277

     173277

     346554

     519831

     693108

     866385

     1039662

     1212939

     1386216

     1559493

     1732770

11 65913

     65913

     131826

     197739

     263652

     329565

     395478

     461391

     527304

     593217

     659130

     725043

12 76923

     76923

     153846

     230769

     307692

     384615

     461538

     538461

     615384

     692307

     769230

     846153

     923076

13 394659

     394659

     789318

     1183977

     1578636

     1973295

     2367954

     2762613

     3157272

     3551931

     3946590

     4341249

     4735908

     5130567

14 344717

     344717

     689434

     1034151

     1378868

     1723585

     2068302

     2413019

     2757736

     3102453

     3447170

     3791887

     4136604

     4481321

     4826038

15 257673

     257673

     515346

     773019

     1030692

     1288365

     1546038

     1803711

     2061384

     2319057

     2576730

     2834403

     3092076

     3349749

     3607422

     3865095

16 2769233

     2769233

     5538466

     8307699

     11076932

     13846165

     16615398

     19384631

     22153864

     24923097

     27692330

     30461563

     33230796

     36000029

     38769262

     41538495

     44307728

17 232767

     232767

     465534

     698301

     931068

     1163835

     1396602

     1629369

     1862136

     2094903

     2327670

     2560437

     2793204

     3025971

     3258738

     3491505

     3724272

     3957039

18 7692391

     7692391

     15384782

     23077173

     30769564

     38461955

     46154346

     53846737

     61539128

     69231519

     76923910

     84616301

     92308692

     100001083

     107693474

     115385865

     123078256

     130770647

     138463038

21 2307767

     2307767

     4615534

     6923301

     9231068

     11538835

     13846602

     16154369

     18462136

     20769903

     23077670

     25385437

     27693204

     30000971

     32308738

     34616505

     36924272

     39232039

     41539806

     43847573

     46155340

     48463107

22 3076923

     3076923

     6153846

     9230769

     12307692

     15384615

     18461538

     21538461

     24615384

     27692307

     30769230

     33846153

     36923076

     39999999

     43076922

     46153845

     49230768

     52307691

     55384614

     58461537

     61538460

     64615383

     67692306

23 6923313

     6923313

     13846626

     20769939

     27693252

     34616565

     41539878

     48463191

     55386504

     62309817

     69233130

     76156443

     83079756

     90003069

     96926382

     103849695

     110773008

     117696321

     124619634

     131542947

     138466260

     145389573

     152312886

     159236199

     

DefDbl A-Z

Dim crlf$, smallest(50)

Private Sub Form_Load()

 Form1.Visible = True

 

 Text1.Text = ""

 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)

 

 For i = 1 To 50

   smallest(i) = 99999999999#

 Next

 For st = 1 To 1000000

   sts$ = LTrim(Str(st))

   For i = 0 To Len(sts)

    DoEvents

     ns$ = Left(sts, i) + "3" + Mid(sts, i + 1)

     n = Val(ns): nm = n

     For m = 2 To 50

       nm = nm + n

       nms$ = LTrim(Str(nm))

       If InStr(nms, "3") = 0 Then Exit For

     Next

     m = m - 1

     If n < smallest(m) Then

         smallest(m) = n

     End If

   Next

 Next

 

 For m = 1 To 50

    If smallest(m) < 99999999999# Then

     DoEvents

       Text1.Text = Text1.Text & m & Str(smallest(m)) & crlf

       For j = 1 To m

         Text1.Text = Text1.Text & "     " & j * smallest(m) & crlf

       Next j

     End If

 Next m

 

 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"

  

End Sub