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 9 cubes (Posted on 2017-10-17)
It is a well known fact that any positive integer can be represented by a sum of at most 9 positive cubes, not necessarily distinct.
Dickson showed that the only integers requiring nine cubes are X and Y .

Find the values of X and Y , without referring to OEIS .

BTW, both numbers are below 300.

 See The Solution Submitted by Ady TZIDON No Rating

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 computer solution Comment 1 of 1
The below table shows at least one way (sometimes more) of forming each number from 1 to 300 except for 23 and 239, so those must be X and Y.

1 1
2 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
8 8
9 8 1
10 8 1 1
11 8 1 1 1
12 8 1 1 1 1
13 8 1 1 1 1 1
14 8 1 1 1 1 1 1
15 8 1 1 1 1 1 1 1
16 8 8
17 8 8 1
18 8 8 1 1
19 8 8 1 1 1
20 8 8 1 1 1 1
21 8 8 1 1 1 1 1
22 8 8 1 1 1 1 1 1
23
24 8 8 8
25 8 8 8 1
26 8 8 8 1 1
27 8 8 8 1 1 1
27 27
28 8 8 8 1 1 1 1
28 27 1
29 8 8 8 1 1 1 1 1
29 27 1 1
30 27 1 1 1
31 27 1 1 1 1
32 8 8 8 8
32 27 1 1 1 1 1
33 8 8 8 8 1
33 27 1 1 1 1 1 1
34 8 8 8 8 1 1
34 27 1 1 1 1 1 1 1
35 8 8 8 8 1 1 1
35 27 8
36 8 8 8 8 1 1 1 1
36 27 8 1
37 27 8 1 1
38 27 8 1 1 1
39 27 8 1 1 1 1
40 8 8 8 8 8
40 27 8 1 1 1 1 1
41 8 8 8 8 8 1
41 27 8 1 1 1 1 1 1
42 8 8 8 8 8 1 1
43 8 8 8 8 8 1 1 1
43 27 8 8
44 27 8 8 1
45 27 8 8 1 1
46 27 8 8 1 1 1
47 27 8 8 1 1 1 1
48 8 8 8 8 8 8
48 27 8 8 1 1 1 1 1
49 8 8 8 8 8 8 1
50 8 8 8 8 8 8 1 1
51 27 8 8 8
52 27 8 8 8 1
53 27 8 8 8 1 1
54 27 8 8 8 1 1 1
54 27 27
55 27 8 8 8 1 1 1 1
55 27 27 1
56 8 8 8 8 8 8 8
56 27 27 1 1
57 8 8 8 8 8 8 8 1
57 27 27 1 1 1
58 27 27 1 1 1 1
59 27 8 8 8 8
59 27 27 1 1 1 1 1
60 27 8 8 8 8 1
60 27 27 1 1 1 1 1 1
61 27 8 8 8 8 1 1
62 27 8 8 8 8 1 1 1
62 27 27 8
63 27 27 8 1
64 8 8 8 8 8 8 8 8
64 27 27 8 1 1
64 64
65 27 27 8 1 1 1
65 64 1
66 27 27 8 1 1 1 1
66 64 1 1
67 27 8 8 8 8 8
67 27 27 8 1 1 1 1 1
67 64 1 1 1
68 27 8 8 8 8 8 1
68 64 1 1 1 1
69 27 8 8 8 8 8 1 1
69 64 1 1 1 1 1
70 27 27 8 8
70 64 1 1 1 1 1 1
71 27 27 8 8 1
71 64 1 1 1 1 1 1 1
72 27 27 8 8 1 1
72 64 8
73 27 27 8 8 1 1 1
73 64 8 1
74 27 27 8 8 1 1 1 1
74 64 8 1 1
75 27 8 8 8 8 8 8
75 64 8 1 1 1
76 27 8 8 8 8 8 8 1
76 64 8 1 1 1 1
77 64 8 1 1 1 1 1
78 27 27 8 8 8
78 64 8 1 1 1 1 1 1
79 27 27 8 8 8 1
80 27 27 8 8 8 1 1
80 64 8 8
81 27 27 8 8 8 1 1 1
81 27 27 27
81 64 8 8 1
82 27 27 27 1
82 64 8 8 1 1
83 27 8 8 8 8 8 8 8
83 27 27 27 1 1
83 64 8 8 1 1 1
84 27 27 27 1 1 1
84 64 8 8 1 1 1 1
85 27 27 27 1 1 1 1
85 64 8 8 1 1 1 1 1
86 27 27 8 8 8 8
86 27 27 27 1 1 1 1 1
87 27 27 8 8 8 8 1
88 27 27 8 8 8 8 1 1
88 64 8 8 8
89 27 27 27 8
89 64 8 8 8 1
90 27 27 27 8 1
90 64 8 8 8 1 1
91 27 27 27 8 1 1
91 64 8 8 8 1 1 1
91 64 27
92 27 27 27 8 1 1 1
92 64 8 8 8 1 1 1 1
92 64 27 1
93 27 27 27 8 1 1 1 1
93 64 27 1 1
94 27 27 8 8 8 8 8
94 64 27 1 1 1
95 27 27 8 8 8 8 8 1
95 64 27 1 1 1 1
96 64 8 8 8 8
96 64 27 1 1 1 1 1
97 27 27 27 8 8
97 64 8 8 8 8 1
97 64 27 1 1 1 1 1 1
98 27 27 27 8 8 1
98 64 8 8 8 8 1 1
99 27 27 27 8 8 1 1
99 64 8 8 8 8 1 1 1
99 64 27 8
100 27 27 27 8 8 1 1 1
100 64 27 8 1
101 64 27 8 1 1
102 27 27 8 8 8 8 8 8
102 64 27 8 1 1 1
103 64 27 8 1 1 1 1
104 64 8 8 8 8 8
104 64 27 8 1 1 1 1 1
105 27 27 27 8 8 8
105 64 8 8 8 8 8 1
106 27 27 27 8 8 8 1
106 64 8 8 8 8 8 1 1
107 27 27 27 8 8 8 1 1
107 64 27 8 8
108 27 27 27 27
108 64 27 8 8 1
109 27 27 27 27 1
109 64 27 8 8 1 1
110 27 27 27 27 1 1
110 64 27 8 8 1 1 1
111 27 27 27 27 1 1 1
111 64 27 8 8 1 1 1 1
112 27 27 27 27 1 1 1 1
112 64 8 8 8 8 8 8
113 27 27 27 8 8 8 8
113 64 8 8 8 8 8 8 1
114 27 27 27 8 8 8 8 1
115 64 27 8 8 8
116 27 27 27 27 8
116 64 27 8 8 8 1
117 27 27 27 27 8 1
117 64 27 8 8 8 1 1
118 27 27 27 27 8 1 1
118 64 27 8 8 8 1 1 1
118 64 27 27
119 27 27 27 27 8 1 1 1
119 64 27 27 1
120 64 8 8 8 8 8 8 8
120 64 27 27 1 1
121 27 27 27 8 8 8 8 8
121 64 27 27 1 1 1
122 64 27 27 1 1 1 1
123 64 27 8 8 8 8
123 64 27 27 1 1 1 1 1
124 27 27 27 27 8 8
124 64 27 8 8 8 8 1
125 27 27 27 27 8 8 1
125 64 27 8 8 8 8 1 1
125 125
126 27 27 27 27 8 8 1 1
126 64 27 27 8
126 125 1
127 64 27 27 8 1
127 125 1 1
128 64 27 27 8 1 1
128 64 64
128 125 1 1 1
129 64 27 27 8 1 1 1
129 64 64 1
129 125 1 1 1 1
130 64 27 27 8 1 1 1 1
130 64 64 1 1
130 125 1 1 1 1 1
131 64 27 8 8 8 8 8
131 64 64 1 1 1
131 125 1 1 1 1 1 1
132 27 27 27 27 8 8 8
132 64 27 8 8 8 8 8 1
132 64 64 1 1 1 1
132 125 1 1 1 1 1 1 1
133 27 27 27 27 8 8 8 1
133 64 64 1 1 1 1 1
133 125 8
134 64 27 27 8 8
134 64 64 1 1 1 1 1 1
134 125 8 1
135 27 27 27 27 27
135 64 27 27 8 8 1
135 125 8 1 1
136 27 27 27 27 27 1
136 64 27 27 8 8 1 1
136 64 64 8
136 125 8 1 1 1
137 27 27 27 27 27 1 1
137 64 27 27 8 8 1 1 1
137 64 64 8 1
137 125 8 1 1 1 1
138 27 27 27 27 27 1 1 1
138 64 64 8 1 1
138 125 8 1 1 1 1 1
139 64 27 8 8 8 8 8 8
139 64 64 8 1 1 1
139 125 8 1 1 1 1 1 1
140 27 27 27 27 8 8 8 8
140 64 64 8 1 1 1 1
141 64 64 8 1 1 1 1 1
141 125 8 8
142 64 27 27 8 8 8
142 125 8 8 1
143 27 27 27 27 27 8
143 64 27 27 8 8 8 1
143 125 8 8 1 1
144 27 27 27 27 27 8 1
144 64 27 27 8 8 8 1 1
144 64 64 8 8
144 125 8 8 1 1 1
145 27 27 27 27 27 8 1 1
145 64 27 27 27
145 64 64 8 8 1
145 125 8 8 1 1 1 1
146 64 27 27 27 1
146 64 64 8 8 1 1
146 125 8 8 1 1 1 1 1
147 64 27 27 27 1 1
147 64 64 8 8 1 1 1
148 64 27 27 27 1 1 1
148 64 64 8 8 1 1 1 1
149 64 27 27 27 1 1 1 1
149 125 8 8 8
150 64 27 27 8 8 8 8
150 125 8 8 8 1
151 27 27 27 27 27 8 8
151 64 27 27 8 8 8 8 1
151 125 8 8 8 1 1
152 27 27 27 27 27 8 8 1
152 64 64 8 8 8
152 125 8 8 8 1 1 1
152 125 27
153 64 27 27 27 8
153 64 64 8 8 8 1
153 125 8 8 8 1 1 1 1
153 125 27 1
154 64 27 27 27 8 1
154 64 64 8 8 8 1 1
154 125 27 1 1
155 64 27 27 27 8 1 1
155 64 64 8 8 8 1 1 1
155 64 64 27
155 125 27 1 1 1
156 64 27 27 27 8 1 1 1
156 64 64 27 1
156 125 27 1 1 1 1
157 64 64 27 1 1
157 125 8 8 8 8
157 125 27 1 1 1 1 1
158 64 27 27 8 8 8 8 8
158 64 64 27 1 1 1
158 125 8 8 8 8 1
158 125 27 1 1 1 1 1 1
159 27 27 27 27 27 8 8 8
159 64 64 27 1 1 1 1
159 125 8 8 8 8 1 1
160 64 64 8 8 8 8
160 64 64 27 1 1 1 1 1
160 125 8 8 8 8 1 1 1
160 125 27 8
161 64 27 27 27 8 8
161 64 64 8 8 8 8 1
161 125 27 8 1
162 27 27 27 27 27 27
162 64 27 27 27 8 8 1
162 64 64 8 8 8 8 1 1
162 125 27 8 1 1
163 27 27 27 27 27 27 1
163 64 27 27 27 8 8 1 1
163 64 64 27 8
163 125 27 8 1 1 1
164 27 27 27 27 27 27 1 1
164 64 64 27 8 1
164 125 27 8 1 1 1 1
165 64 64 27 8 1 1
165 125 8 8 8 8 8
165 125 27 8 1 1 1 1 1
166 64 64 27 8 1 1 1
166 125 8 8 8 8 8 1
167 64 64 27 8 1 1 1 1
167 125 8 8 8 8 8 1 1
168 64 64 8 8 8 8 8
168 125 27 8 8
169 64 27 27 27 8 8 8
169 64 64 8 8 8 8 8 1
169 125 27 8 8 1
170 27 27 27 27 27 27 8
170 64 27 27 27 8 8 8 1
170 125 27 8 8 1 1
171 27 27 27 27 27 27 8 1
171 64 64 27 8 8
171 125 27 8 8 1 1 1
172 64 27 27 27 27
172 64 64 27 8 8 1
172 125 27 8 8 1 1 1 1
173 64 27 27 27 27 1
173 64 64 27 8 8 1 1
173 125 8 8 8 8 8 8
174 64 27 27 27 27 1 1
174 64 64 27 8 8 1 1 1
174 125 8 8 8 8 8 8 1
175 64 27 27 27 27 1 1 1
176 64 64 8 8 8 8 8 8
176 125 27 8 8 8
177 64 27 27 27 8 8 8 8
177 125 27 8 8 8 1
178 27 27 27 27 27 27 8 8
178 125 27 8 8 8 1 1
179 64 64 27 8 8 8
179 125 27 8 8 8 1 1 1
179 125 27 27
180 64 27 27 27 27 8
180 64 64 27 8 8 8 1
180 125 27 27 1
181 64 27 27 27 27 8 1
181 64 64 27 8 8 8 1 1
181 125 8 8 8 8 8 8 8
181 125 27 27 1 1
182 64 27 27 27 27 8 1 1
182 64 64 27 27
182 125 27 27 1 1 1
183 64 64 27 27 1
183 125 27 27 1 1 1 1
184 64 64 27 27 1 1
184 125 27 8 8 8 8
184 125 27 27 1 1 1 1 1
185 64 64 27 27 1 1 1
185 125 27 8 8 8 8 1
186 64 64 27 27 1 1 1 1
186 125 27 8 8 8 8 1 1
187 64 64 27 8 8 8 8
187 125 27 27 8
188 64 27 27 27 27 8 8
188 64 64 27 8 8 8 8 1
188 125 27 27 8 1
189 27 27 27 27 27 27 27
189 64 27 27 27 27 8 8 1
189 125 27 27 8 1 1
189 125 64
190 27 27 27 27 27 27 27 1
190 64 64 27 27 8
190 125 27 27 8 1 1 1
190 125 64 1
191 64 64 27 27 8 1
191 125 27 27 8 1 1 1 1
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286 64 64 64 64 27 1 1 1
286 125 64 27 27 27 8 8
286 125 64 64 8 8 8 8 1
286 125 125 27 8 1
286 216 27 27 8 8
286 216 64 1 1 1 1 1 1
287 125 27 27 27 27 27 27
287 125 64 27 27 27 8 8 1
287 125 125 27 8 1 1
287 216 27 27 8 8 1
288 64 64 64 64 8 8 8 8
288 125 27 27 27 27 27 27 1
288 125 64 64 27 8
288 125 125 27 8 1 1 1
288 216 27 27 8 8 1 1
288 216 64 8
289 64 64 64 27 27 27 8 8
289 125 64 64 27 8 1
289 125 125 27 8 1 1 1 1
289 216 27 27 8 8 1 1 1
289 216 64 8 1
290 64 64 27 27 27 27 27 27
290 125 64 64 27 8 1 1
290 125 125 8 8 8 8 8
290 216 64 8 1 1
291 64 64 64 64 27 8
291 125 64 64 27 8 1 1 1
291 125 125 8 8 8 8 8 1
291 216 27 8 8 8 8 8 8
291 216 64 8 1 1 1
292 64 64 64 64 27 8 1
292 216 64 8 1 1 1 1
293 64 64 64 64 27 8 1 1
293 125 64 64 8 8 8 8 8
293 125 125 27 8 8
293 216 64 8 1 1 1 1 1
294 125 64 27 27 27 8 8 8
294 125 125 27 8 8 1
294 216 27 27 8 8 8
295 125 27 27 27 27 27 27 8
295 125 125 27 8 8 1 1
295 216 27 27 8 8 8 1
296 125 64 64 27 8 8
296 125 125 27 8 8 1 1 1
296 216 27 27 8 8 8 1 1
296 216 64 8 8
297 125 64 27 27 27 27
297 125 64 64 27 8 8 1
297 216 27 27 27
297 216 64 8 8 1
298 125 64 27 27 27 27 1
298 125 64 64 27 8 8 1 1
298 125 125 8 8 8 8 8 8
298 216 27 27 27 1
298 216 64 8 8 1 1
299 64 64 64 64 27 8 8
299 125 64 27 27 27 27 1 1
299 216 27 27 27 1 1
299 216 64 8 8 1 1 1
300 64 64 64 27 27 27 27
300 64 64 64 64 27 8 8 1
300 216 27 27 27 1 1 1
300 216 64 8 8 1 1 1 1

DefDbl A-Z
Dim crlf\$, cube(6), tot, n, ct, cb(1000), didit

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""
crlf = Chr\$(13) + Chr\$(10)

For i = 1 To 6
cube(i) = i * i * i
Next

For n = 1 To 300
tot = 0: ct = 0: didit = 0
If didit = 0 Then Text1.Text = Text1.Text & n & crlf
Next

Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"

End Sub

savetot = tot: savect = ct
DoEvents
Do
DoEvents
If tot > n Or ct > 8 Then tot = savetot: ct = savect: Exit Sub
If tot = n Then
Text1.Text = Text1.Text & n
For i = 1 To ct
Text1.Text = Text1.Text & Str(cb(i))
Next
Text1.Text = Text1.Text & crlf
didit = 1
tot = savetot: ct = savect
Exit Sub
Else
If wh > 1 Then addon wh - 1
End If
tot = tot + cube(wh)
ct = ct + 1
cb(ct) = cube(wh)
Loop
End Sub

 Posted by Charlie on 2017-10-17 12:51:10

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