Define a function f mapping positive integers to positive integers by f(1)=1, and f(n)=f(n-1)+n if f(n-1)<=n
and f(n)=f(n-1)-n if f(n-1)>n
For n≥2,
i) Find the smallest integer n such that f(n) = 1,000,000
ii) Find the smallest integer n such that f(n) = 2,000,000
There's an obvious pattern within the odd and even numbers taken separately. The odd numbers, starting with 3, go up by 1 until a peak of 8 is reached at n=7; f for even n, starting at 8, increases from 16 to a peak of 23 when n=22 and then diminish to 1 at n=66.
Meanwhile at n=23, the odd values start at 46 (twice 23) and reach a peak of 68 at n=67 (1 higher than where the evens reached 1). The evens start their next climb starting at 136 at n=68 (notice f(68)=2*68). They reach a peak of 203 at n=202, just as the odds, at n=201, have descended down to 1.
The odds resume f values at n=203 with 406 (twice f(202)). Similar patterns seem to repeat after that.
Rather than analyze this pattern to come up with the answers, iteration was carried out far enough to get to the values asked for: the lowest n for f=1,000,000 is 671,396, and the lowest n for f=2,000,000 is 7,957,423.
Contrary to what would be expected from the patterns, 2 million is first reached on a downward trend from more than 2 million. But the again, f values of 24 through 45 were also reached first on a downward trend of odd n's.
The program (iterative programmatically, though recursive mathematically) is:
f = 1
For n = 2 To 10000000
If f <= n Then f = f + n Else f = f - n
If n <= 2000 Or f >= 1000000 And f <= 1000009 Or f >= 2000000 And f <= 2000100 Then
Text1.Text = Text1.Text & mform(n, "#########") & mform(f, "##########")
If n Mod 2 = 0 Or n >= 600000 Then Text1.Text = Text1.Text & crlf
End If
DoEvents
Next
2 3
3 6 4 2
5 7 6 1
7 8 8 16
9 7 10 17
11 6 12 18
13 5 14 19
15 4 16 20
17 3 18 21
19 2 20 22
21 1 22 23
23 46 24 22
25 47 26 21
27 48 28 20
29 49 30 19
31 50 32 18
33 51 34 17
35 52 36 16
37 53 38 15
39 54 40 14
41 55 42 13
43 56 44 12
45 57 46 11
47 58 48 10
49 59 50 9
51 60 52 8
53 61 54 7
55 62 56 6
57 63 58 5
59 64 60 4
61 65 62 3
63 66 64 2
65 67 66 1
67 68 68 136
69 67 70 137
71 66 72 138
73 65 74 139
75 64 76 140
77 63 78 141
79 62 80 142
81 61 82 143
83 60 84 144
85 59 86 145
87 58 88 146
89 57 90 147
91 56 92 148
93 55 94 149
95 54 96 150
97 53 98 151
99 52 100 152
101 51 102 153
103 50 104 154
105 49 106 155
107 48 108 156
109 47 110 157
111 46 112 158
113 45 114 159
115 44 116 160
117 43 118 161
119 42 120 162
121 41 122 163
123 40 124 164
125 39 126 165
127 38 128 166
129 37 130 167
131 36 132 168
133 35 134 169
135 34 136 170
137 33 138 171
139 32 140 172
141 31 142 173
143 30 144 174
145 29 146 175
147 28 148 176
149 27 150 177
151 26 152 178
153 25 154 179
155 24 156 180
157 23 158 181
159 22 160 182
161 21 162 183
163 20 164 184
165 19 166 185
167 18 168 186
169 17 170 187
171 16 172 188
173 15 174 189
175 14 176 190
177 13 178 191
179 12 180 192
181 11 182 193
183 10 184 194
185 9 186 195
187 8 188 196
189 7 190 197
191 6 192 198
193 5 194 199
195 4 196 200
197 3 198 201
199 2 200 202
201 1 202 203
203 406 204 202
205 407 206 201
207 408 208 200
209 409 210 199
211 410 212 198
213 411 214 197
215 412 216 196
217 413 218 195
219 414 220 194
221 415 222 193
223 416 224 192
225 417 226 191
227 418 228 190
229 419 230 189
231 420 232 188
233 421 234 187
235 422 236 186
237 423 238 185
239 424 240 184
241 425 242 183
243 426 244 182
245 427 246 181
247 428 248 180
249 429 250 179
251 430 252 178
253 431 254 177
255 432 256 176
257 433 258 175
259 434 260 174
261 435 262 173
263 436 264 172
265 437 266 171
267 438 268 170
269 439 270 169
271 440 272 168
273 441 274 167
275 442 276 166
277 443 278 165
279 444 280 164
281 445 282 163
283 446 284 162
285 447 286 161
287 448 288 160
289 449 290 159
291 450 292 158
293 451 294 157
295 452 296 156
297 453 298 155
299 454 300 154
301 455 302 153
303 456 304 152
305 457 306 151
307 458 308 150
309 459 310 149
311 460 312 148
313 461 314 147
315 462 316 146
317 463 318 145
319 464 320 144
321 465 322 143
323 466 324 142
325 467 326 141
327 468 328 140
329 469 330 139
331 470 332 138
333 471 334 137
335 472 336 136
337 473 338 135
339 474 340 134
341 475 342 133
343 476 344 132
345 477 346 131
347 478 348 130
349 479 350 129
351 480 352 128
353 481 354 127
355 482 356 126
357 483 358 125
359 484 360 124
361 485 362 123
363 486 364 122
365 487 366 121
367 488 368 120
369 489 370 119
371 490 372 118
373 491 374 117
375 492 376 116
377 493 378 115
379 494 380 114
381 495 382 113
383 496 384 112
385 497 386 111
387 498 388 110
389 499 390 109
391 500 392 108
393 501 394 107
395 502 396 106
397 503 398 105
399 504 400 104
401 505 402 103
403 506 404 102
405 507 406 101
407 508 408 100
409 509 410 99
411 510 412 98
413 511 414 97
415 512 416 96
417 513 418 95
419 514 420 94
421 515 422 93
423 516 424 92
425 517 426 91
427 518 428 90
429 519 430 89
431 520 432 88
433 521 434 87
435 522 436 86
437 523 438 85
439 524 440 84
441 525 442 83
443 526 444 82
445 527 446 81
447 528 448 80
449 529 450 79
451 530 452 78
453 531 454 77
455 532 456 76
457 533 458 75
459 534 460 74
461 535 462 73
463 536 464 72
465 537 466 71
467 538 468 70
469 539 470 69
471 540 472 68
473 541 474 67
475 542 476 66
477 543 478 65
479 544 480 64
481 545 482 63
483 546 484 62
485 547 486 61
487 548 488 60
489 549 490 59
491 550 492 58
493 551 494 57
495 552 496 56
497 553 498 55
499 554 500 54
501 555 502 53
503 556 504 52
505 557 506 51
507 558 508 50
509 559 510 49
511 560 512 48
513 561 514 47
515 562 516 46
517 563 518 45
519 564 520 44
521 565 522 43
523 566 524 42
525 567 526 41
527 568 528 40
529 569 530 39
531 570 532 38
533 571 534 37
535 572 536 36
537 573 538 35
539 574 540 34
541 575 542 33
543 576 544 32
545 577 546 31
547 578 548 30
549 579 550 29
551 580 552 28
553 581 554 27
555 582 556 26
557 583 558 25
559 584 560 24
561 585 562 23
563 586 564 22
565 587 566 21
567 588 568 20
569 589 570 19
571 590 572 18
573 591 574 17
575 592 576 16
577 593 578 15
579 594 580 14
581 595 582 13
583 596 584 12
585 597 586 11
587 598 588 10
589 599 590 9
591 600 592 8
593 601 594 7
595 602 596 6
597 603 598 5
599 604 600 4
601 605 602 3
603 606 604 2
605 607 606 1
607 608 608 1216
609 607 610 1217
611 606 612 1218
613 605 614 1219
615 604 616 1220
617 603 618 1221
619 602 620 1222
621 601 622 1223
623 600 624 1224
625 599 626 1225
627 598 628 1226
629 597 630 1227
631 596 632 1228
633 595 634 1229
635 594 636 1230
637 593 638 1231
639 592 640 1232
641 591 642 1233
643 590 644 1234
645 589 646 1235
647 588 648 1236
649 587 650 1237
651 586 652 1238
653 585 654 1239
655 584 656 1240
657 583 658 1241
659 582 660 1242
661 581 662 1243
663 580 664 1244
665 579 666 1245
667 578 668 1246
669 577 670 1247
671 576 672 1248
673 575 674 1249
675 574 676 1250
677 573 678 1251
679 572 680 1252
681 571 682 1253
683 570 684 1254
685 569 686 1255
687 568 688 1256
689 567 690 1257
691 566 692 1258
693 565 694 1259
695 564 696 1260
697 563 698 1261
699 562 700 1262
701 561 702 1263
703 560 704 1264
705 559 706 1265
707 558 708 1266
709 557 710 1267
711 556 712 1268
713 555 714 1269
715 554 716 1270
717 553 718 1271
719 552 720 1272
721 551 722 1273
723 550 724 1274
725 549 726 1275
727 548 728 1276
729 547 730 1277
731 546 732 1278
733 545 734 1279
735 544 736 1280
737 543 738 1281
739 542 740 1282
741 541 742 1283
743 540 744 1284
745 539 746 1285
747 538 748 1286
749 537 750 1287
751 536 752 1288
753 535 754 1289
755 534 756 1290
757 533 758 1291
759 532 760 1292
761 531 762 1293
763 530 764 1294
765 529 766 1295
767 528 768 1296
769 527 770 1297
771 526 772 1298
773 525 774 1299
775 524 776 1300
777 523 778 1301
779 522 780 1302
781 521 782 1303
783 520 784 1304
785 519 786 1305
787 518 788 1306
789 517 790 1307
791 516 792 1308
793 515 794 1309
795 514 796 1310
797 513 798 1311
799 512 800 1312
801 511 802 1313
803 510 804 1314
805 509 806 1315
807 508 808 1316
809 507 810 1317
811 506 812 1318
813 505 814 1319
815 504 816 1320
817 503 818 1321
819 502 820 1322
821 501 822 1323
823 500 824 1324
825 499 826 1325
827 498 828 1326
829 497 830 1327
831 496 832 1328
833 495 834 1329
835 494 836 1330
837 493 838 1331
839 492 840 1332
841 491 842 1333
843 490 844 1334
845 489 846 1335
847 488 848 1336
849 487 850 1337
851 486 852 1338
853 485 854 1339
855 484 856 1340
857 483 858 1341
859 482 860 1342
861 481 862 1343
863 480 864 1344
865 479 866 1345
867 478 868 1346
869 477 870 1347
871 476 872 1348
873 475 874 1349
875 474 876 1350
877 473 878 1351
879 472 880 1352
881 471 882 1353
883 470 884 1354
885 469 886 1355
887 468 888 1356
889 467 890 1357
891 466 892 1358
893 465 894 1359
895 464 896 1360
897 463 898 1361
899 462 900 1362
901 461 902 1363
903 460 904 1364
905 459 906 1365
907 458 908 1366
909 457 910 1367
911 456 912 1368
913 455 914 1369
915 454 916 1370
917 453 918 1371
919 452 920 1372
921 451 922 1373
923 450 924 1374
925 449 926 1375
927 448 928 1376
929 447 930 1377
931 446 932 1378
933 445 934 1379
935 444 936 1380
937 443 938 1381
939 442 940 1382
941 441 942 1383
943 440 944 1384
945 439 946 1385
947 438 948 1386
949 437 950 1387
951 436 952 1388
953 435 954 1389
955 434 956 1390
957 433 958 1391
959 432 960 1392
961 431 962 1393
963 430 964 1394
965 429 966 1395
967 428 968 1396
969 427 970 1397
971 426 972 1398
973 425 974 1399
975 424 976 1400
977 423 978 1401
979 422 980 1402
981 421 982 1403
983 420 984 1404
985 419 986 1405
987 418 988 1406
989 417 990 1407
991 416 992 1408
993 415 994 1409
995 414 996 1410
997 413 998 1411
999 412 1000 1412
1001 411 1002 1413
1003 410 1004 1414
1005 409 1006 1415
1007 408 1008 1416
1009 407 1010 1417
1011 406 1012 1418
1013 405 1014 1419
1015 404 1016 1420
1017 403 1018 1421
1019 402 1020 1422
1021 401 1022 1423
1023 400 1024 1424
1025 399 1026 1425
1027 398 1028 1426
1029 397 1030 1427
1031 396 1032 1428
1033 395 1034 1429
1035 394 1036 1430
1037 393 1038 1431
1039 392 1040 1432
1041 391 1042 1433
1043 390 1044 1434
1045 389 1046 1435
1047 388 1048 1436
1049 387 1050 1437
1051 386 1052 1438
1053 385 1054 1439
1055 384 1056 1440
1057 383 1058 1441
1059 382 1060 1442
1061 381 1062 1443
1063 380 1064 1444
1065 379 1066 1445
1067 378 1068 1446
1069 377 1070 1447
1071 376 1072 1448
|
|
Posted by Charlie
on 2019-08-15 09:18:37 |
computer solution with pattern
