Think of this problem as an extension of
Two Digit Integers.
Find all possible three digit positive integers N for which the sum of digits of 10N - N is divisible by 170.
Provide valid reasons for your answer.
Note: Computer program/ spreadsheet aided methodologies are welcome, but a semi-analytic (simple calculator + p&p) solution is preferred.
for n=100:999
v=sym(10)^n-n;
s=char(string(v));
s=sum(s-48);
if mod(s,170)==0
disp(n)
end
end
finds no solutions.
When the range is for 2-digit numbers it finds those originally found for the older puzzle referenced, and when the range is set for 3-digit numbers it finds many. Therefore I think the program is working and it verifies there are no solutions.
For what it's worth, as a possible aid to finding an analytic solution, here are the mod-170 values for n = 1 to 1000:
n mod n mod n mod n mod n mod
of of of of of
sod sod sod sod sod
200 81 400 9 600 107 800 35
1 9 201 107 401 35 601 133 801 61
2 17 202 115 402 43 602 141 802 69
3 25 203 123 403 51 603 149 803 77
4 33 204 131 404 59 604 157 804 85
5 41 205 139 405 67 605 165 805 93
6 49 206 147 406 75 606 3 806 101
7 57 207 155 407 83 607 11 807 109
8 65 208 163 408 91 608 19 808 117
9 73 209 1 409 99 609 27 809 125
10 81 210 9 410 107 610 35 810 133
11 98 211 26 411 124 611 52 811 150
12 106 212 34 412 132 612 60 812 158
13 114 213 42 413 140 613 68 813 166
14 122 214 50 414 148 614 76 814 4
15 130 215 58 415 156 615 84 815 12
16 138 216 66 416 164 616 92 816 20
17 146 217 74 417 2 617 100 817 28
18 154 218 82 418 10 618 108 818 36
19 162 219 90 419 18 619 116 819 44
20 0 220 98 420 26 620 124 820 52
21 17 221 115 421 43 621 141 821 69
22 25 222 123 422 51 622 149 822 77
23 33 223 131 423 59 623 157 823 85
24 41 224 139 424 67 624 165 824 93
25 49 225 147 425 75 625 3 825 101
26 57 226 155 426 83 626 11 826 109
27 65 227 163 427 91 627 19 827 117
28 73 228 1 428 99 628 27 828 125
29 81 229 9 429 107 629 35 829 133
30 89 230 17 430 115 630 43 830 141
31 106 231 34 431 132 631 60 831 158
32 114 232 42 432 140 632 68 832 166
33 122 233 50 433 148 633 76 833 4
34 130 234 58 434 156 634 84 834 12
35 138 235 66 435 164 635 92 835 20
36 146 236 74 436 2 636 100 836 28
37 154 237 82 437 10 637 108 837 36
38 162 238 90 438 18 638 116 838 44
39 0 239 98 439 26 639 124 839 52
40 8 240 106 440 34 640 132 840 60
41 25 241 123 441 51 641 149 841 77
42 33 242 131 442 59 642 157 842 85
43 41 243 139 443 67 643 165 843 93
44 49 244 147 444 75 644 3 844 101
45 57 245 155 445 83 645 11 845 109
46 65 246 163 446 91 646 19 846 117
47 73 247 1 447 99 647 27 847 125
48 81 248 9 448 107 648 35 848 133
49 89 249 17 449 115 649 43 849 141
50 97 250 25 450 123 650 51 850 149
51 114 251 42 451 140 651 68 851 166
52 122 252 50 452 148 652 76 852 4
53 130 253 58 453 156 653 84 853 12
54 138 254 66 454 164 654 92 854 20
55 146 255 74 455 2 655 100 855 28
56 154 256 82 456 10 656 108 856 36
57 162 257 90 457 18 657 116 857 44
58 0 258 98 458 26 658 124 858 52
59 8 259 106 459 34 659 132 859 60
60 16 260 114 460 42 660 140 860 68
61 33 261 131 461 59 661 157 861 85
62 41 262 139 462 67 662 165 862 93
63 49 263 147 463 75 663 3 863 101
64 57 264 155 464 83 664 11 864 109
65 65 265 163 465 91 665 19 865 117
66 73 266 1 466 99 666 27 866 125
67 81 267 9 467 107 667 35 867 133
68 89 268 17 468 115 668 43 868 141
69 97 269 25 469 123 669 51 869 149
70 105 270 33 470 131 670 59 870 157
71 122 271 50 471 148 671 76 871 4
72 130 272 58 472 156 672 84 872 12
73 138 273 66 473 164 673 92 873 20
74 146 274 74 474 2 674 100 874 28
75 154 275 82 475 10 675 108 875 36
76 162 276 90 476 18 676 116 876 44
77 0 277 98 477 26 677 124 877 52
78 8 278 106 478 34 678 132 878 60
79 16 279 114 479 42 679 140 879 68
80 24 280 122 480 50 680 148 880 76
81 41 281 139 481 67 681 165 881 93
82 49 282 147 482 75 682 3 882 101
83 57 283 155 483 83 683 11 883 109
84 65 284 163 484 91 684 19 884 117
85 73 285 1 485 99 685 27 885 125
86 81 286 9 486 107 686 35 886 133
87 89 287 17 487 115 687 43 887 141
88 97 288 25 488 123 688 51 888 149
89 105 289 33 489 131 689 59 889 157
90 113 290 41 490 139 690 67 890 165
91 130 291 58 491 156 691 84 891 12
92 138 292 66 492 164 692 92 892 20
93 146 293 74 493 2 693 100 893 28
94 154 294 82 494 10 694 108 894 36
95 162 295 90 495 18 695 116 895 44
96 0 296 98 496 26 696 124 896 52
97 8 297 106 497 34 697 132 897 60
98 16 298 114 498 42 698 140 898 68
99 24 299 122 499 50 699 148 899 76
100 32 300 130 500 58 700 156 900 84
101 58 301 156 501 84 701 12 901 110
102 66 302 164 502 92 702 20 902 118
103 74 303 2 503 100 703 28 903 126
104 82 304 10 504 108 704 36 904 134
105 90 305 18 505 116 705 44 905 142
106 98 306 26 506 124 706 52 906 150
107 106 307 34 507 132 707 60 907 158
108 114 308 42 508 140 708 68 908 166
109 122 309 50 509 148 709 76 909 4
110 130 310 58 510 156 710 84 910 12
111 147 311 75 511 3 711 101 911 29
112 155 312 83 512 11 712 109 912 37
113 163 313 91 513 19 713 117 913 45
114 1 314 99 514 27 714 125 914 53
115 9 315 107 515 35 715 133 915 61
116 17 316 115 516 43 716 141 916 69
117 25 317 123 517 51 717 149 917 77
118 33 318 131 518 59 718 157 918 85
119 41 319 139 519 67 719 165 919 93
120 49 320 147 520 75 720 3 920 101
121 66 321 164 521 92 721 20 921 118
122 74 322 2 522 100 722 28 922 126
123 82 323 10 523 108 723 36 923 134
124 90 324 18 524 116 724 44 924 142
125 98 325 26 525 124 725 52 925 150
126 106 326 34 526 132 726 60 926 158
127 114 327 42 527 140 727 68 927 166
128 122 328 50 528 148 728 76 928 4
129 130 329 58 529 156 729 84 929 12
130 138 330 66 530 164 730 92 930 20
131 155 331 83 531 11 731 109 931 37
132 163 332 91 532 19 732 117 932 45
133 1 333 99 533 27 733 125 933 53
134 9 334 107 534 35 734 133 934 61
135 17 335 115 535 43 735 141 935 69
136 25 336 123 536 51 736 149 936 77
137 33 337 131 537 59 737 157 937 85
138 41 338 139 538 67 738 165 938 93
139 49 339 147 539 75 739 3 939 101
140 57 340 155 540 83 740 11 940 109
141 74 341 2 541 100 741 28 941 126
142 82 342 10 542 108 742 36 942 134
143 90 343 18 543 116 743 44 943 142
144 98 344 26 544 124 744 52 944 150
145 106 345 34 545 132 745 60 945 158
146 114 346 42 546 140 746 68 946 166
147 122 347 50 547 148 747 76 947 4
148 130 348 58 548 156 748 84 948 12
149 138 349 66 549 164 749 92 949 20
150 146 350 74 550 2 750 100 950 28
151 163 351 91 551 19 751 117 951 45
152 1 352 99 552 27 752 125 952 53
153 9 353 107 553 35 753 133 953 61
154 17 354 115 554 43 754 141 954 69
155 25 355 123 555 51 755 149 955 77
156 33 356 131 556 59 756 157 956 85
157 41 357 139 557 67 757 165 957 93
158 49 358 147 558 75 758 3 958 101
159 57 359 155 559 83 759 11 959 109
160 65 360 163 560 91 760 19 960 117
161 82 361 10 561 108 761 36 961 134
162 90 362 18 562 116 762 44 962 142
163 98 363 26 563 124 763 52 963 150
164 106 364 34 564 132 764 60 964 158
165 114 365 42 565 140 765 68 965 166
166 122 366 50 566 148 766 76 966 4
167 130 367 58 567 156 767 84 967 12
168 138 368 66 568 164 768 92 968 20
169 146 369 74 569 2 769 100 969 28
170 154 370 82 570 10 770 108 970 36
171 1 371 99 571 27 771 125 971 53
172 9 372 107 572 35 772 133 972 61
173 17 373 115 573 43 773 141 973 69
174 25 374 123 574 51 774 149 974 77
175 33 375 131 575 59 775 157 975 85
176 41 376 139 576 67 776 165 976 93
177 49 377 147 577 75 777 3 977 101
178 57 378 155 578 83 778 11 978 109
179 65 379 163 579 91 779 19 979 117
180 73 380 1 580 99 780 27 980 125
181 90 381 18 581 116 781 44 981 142
182 98 382 26 582 124 782 52 982 150
183 106 383 34 583 132 783 60 983 158
184 114 384 42 584 140 784 68 984 166
185 122 385 50 585 148 785 76 985 4
186 130 386 58 586 156 786 84 986 12
187 138 387 66 587 164 787 92 987 20
188 146 388 74 588 2 788 100 988 28
189 154 389 82 589 10 789 108 989 36
190 162 390 90 590 18 790 116 990 44
191 9 391 107 591 35 791 133 991 61
192 17 392 115 592 43 792 141 992 69
193 25 393 123 593 51 793 149 993 77
194 33 394 131 594 59 794 157 994 85
195 41 395 139 595 67 795 165 995 93
196 49 396 147 596 75 796 3 996 101
197 57 397 155 597 83 797 11 997 109
198 65 398 163 598 91 798 19 998 117
199 73 399 1 599 99 799 27 999 125
1000 133
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Posted by Charlie
on 2023-04-19 17:56:14 |
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