Consider a positive integer n and a prime number p.
The following conditions are satisfied simultaneously:
- p divides n3-1
- n divides p-1
Does 4p-3 always correspond to a perfect square?
- If not, provide an example.
- If so, prove it.
clearvars,clc
for n=1:5000
cubeM1=n^3-1;
for nMult=n:n:max(cubeM1,n)
p=nMult+1;
if mod(cubeM1,p)==0
if isprime(p)
sq=4*p-3;
fprintf('%8d %15d %15d ',n,p,sq);
sr=round(sqrt(sq));
if sr^2==sq
fprintf('%8d\n',sr)
else
fprintf('%15.6f ++\n',sqrt(sq))
end
end
end
end
end
finds only the case of n=1, p=2 forms what I'd call an exception rather than a counterexample:
2 divides 1^3-1 = 0
1 divides 2-1 = 1
4*2-3 = 5 is not a perfect square.
Other cases, which fit the criterion, all find a perfect square:
1 2 5 2.236068 ++
2 7 25 5
3 13 49 7
5 31 121 11
6 43 169 13
8 73 289 17
12 157 625 25
14 211 841 29
15 241 961 31
17 307 1225 35
20 421 1681 41
21 463 1849 43
24 601 2401 49
27 757 3025 55
33 1123 4489 67
38 1483 5929 77
41 1723 6889 83
50 2551 10201 101
54 2971 11881 109
57 3307 13225 115
59 3541 14161 119
62 3907 15625 125
66 4423 17689 133
69 4831 19321 139
71 5113 20449 143
75 5701 22801 151
77 6007 24025 155
78 6163 24649 157
80 6481 25921 161
89 8011 32041 179
90 8191 32761 181
99 9901 39601 199
101 10303 41209 203
105 11131 44521 211
110 12211 48841 221
111 12433 49729 223
117 13807 55225 235
119 14281 57121 239
131 17293 69169 263
138 19183 76729 277
141 20023 80089 283
143 20593 82369 287
147 21757 87025 295
150 22651 90601 301
153 23563 94249 307
155 24181 96721 311
161 26083 104329 323
162 26407 105625 325
164 27061 108241 329
167 28057 112225 335
168 28393 113569 337
173 30103 120409 347
176 31153 124609 353
188 35533 142129 377
189 35911 143641 379
192 37057 148225 385
194 37831 151321 389
203 41413 165649 407
206 42643 170569 413
209 43891 175561 419
215 46441 185761 431
218 47743 190969 437
231 53593 214369 463
236 55933 223729 473
245 60271 241081 491
246 60763 243049 493
266 71023 284089 533
272 74257 297025 545
278 77563 310249 557
279 78121 312481 559
287 82657 330625 575
288 83233 332929 577
290 84391 337561 581
293 86143 344569 587
309 95791 383161 619
314 98911 395641 629
329 108571 434281 659
332 110557 442225 665
336 113233 452929 673
342 117307 469225 685
344 118681 474721 689
348 121453 485809 697
351 123553 494209 703
357 127807 511225 715
369 136531 546121 739
378 143263 573049 757
381 145543 582169 763
383 147073 588289 767
392 154057 616225 785
395 156421 625681 791
398 158803 635209 797
402 162007 648025 805
404 163621 654481 809
405 164431 657721 811
414 171811 687241 829
416 173473 693889 833
426 181903 727609 853
434 188791 755161 869
435 189661 758641 871
447 200257 801025 895
453 205663 822649 907
455 207481 829921 911
456 208393 833569 913
476 227053 908209 953
489 239611 958441 979
495 245521 982081 991
500 250501 1002001 1001
512 262657 1050625 1025
518 268843 1075369 1037
525 276151 1104601 1051
530 281431 1125721 1061
531 282493 1129969 1063
533 284623 1138489 1067
537 288907 1155625 1075
540 292141 1168561 1081
551 304153 1216609 1103
554 307471 1229881 1109
560 314161 1256641 1121
566 320923 1283689 1133
567 322057 1288225 1135
572 327757 1311025 1145
579 335821 1343281 1159
582 339307 1357225 1165
584 341641 1366561 1169
603 364213 1456849 1207
605 366631 1466521 1211
609 371491 1485961 1219
612 375157 1500625 1225
621 386263 1545049 1243
624 390001 1560001 1249
626 392503 1570009 1253
635 403861 1615441 1271
642 412807 1651225 1285
644 415381 1661521 1289
668 446893 1787569 1337
671 450913 1803649 1343
677 459007 1836025 1355
686 471283 1885129 1373
696 485113 1940449 1393
701 492103 1968409 1403
720 519121 2076481 1441
726 527803 2111209 1453
728 530713 2122849 1457
735 540961 2163841 1471
743 552793 2211169 1487
747 558757 2235025 1495
755 570781 2283121 1511
761 579883 2319529 1523
762 581407 2325625 1525
768 590593 2362369 1537
773 598303 2393209 1547
782 612307 2449225 1565
785 617011 2468041 1571
792 628057 2512225 1585
798 637603 2550409 1597
801 642403 2569609 1603
812 660157 2640625 1625
818 669943 2679769 1637
819 671581 2686321 1639
825 681451 2725801 1651
827 684757 2739025 1655
836 699733 2798929 1673
839 704761 2819041 1679
846 716563 2866249 1693
855 731881 2927521 1711
857 735307 2941225 1715
860 740461 2961841 1721
864 747361 2989441 1729
875 766501 3066001 1751
878 771763 3087049 1757
890 792991 3171961 1781
894 800131 3200521 1789
897 805507 3222025 1795
899 809101 3236401 1799
911 830833 3323329 1823
915 838141 3352561 1831
918 843643 3374569 1837
920 847321 3389281 1841
927 860257 3441025 1855
950 903451 3613801 1901
959 920641 3682561 1919
960 922561 3690241 1921
969 939931 3759721 1939
974 949651 3798601 1949
981 963343 3853369 1963
987 975157 3900625 1975
990 981091 3924361 1981
992 985057 3940225 1985
993 987043 3948169 1987
1001 1003003 4012009 2003
1002 1005007 4020025 2005
1007 1015057 4060225 2015
1011 1023133 4092529 2023
1016 1033273 4133089 2033
1020 1041421 4165681 2041
1022 1045507 4182025 2045
1029 1059871 4239481 2059
1041 1084723 4338889 2083
1058 1120423 4481689 2117
1065 1135291 4541161 2131
1067 1139557 4558225 2135
1070 1145971 4583881 2141
1074 1154551 4618201 2149
1077 1161007 4644025 2155
1091 1191373 4765489 2183
1092 1193557 4774225 2185
1097 1204507 4818025 2195
1098 1206703 4826809 2197
1107 1226557 4906225 2215
1116 1246573 4986289 2233
1118 1251043 5004169 2237
1125 1266751 5067001 2251
1130 1278031 5112121 2261
1133 1284823 5139289 2267
1142 1305307 5221225 2285
1146 1314463 5257849 2293
1148 1319053 5276209 2297
1149 1321351 5285401 2299
1163 1353733 5414929 2327
1181 1395943 5583769 2363
1182 1398307 5593225 2365
1191 1419673 5678689 2383
1193 1424443 5697769 2387
1196 1431613 5726449 2393
1200 1441201 5764801 2401
1202 1446007 5784025 2405
1209 1462891 5851561 2419
1217 1482307 5929225 2435
1221 1492063 5968249 2443
1230 1514131 6056521 2461
1254 1573771 6295081 2509
1256 1578793 6315169 2513
1260 1588861 6355441 2521
1263 1596433 6385729 2527
1272 1619257 6477025 2545
1274 1624351 6497401 2549
1275 1626901 6507601 2551
1281 1642243 6568969 2563
1295 1678321 6713281 2591
1308 1712173 6848689 2617
1314 1727911 6911641 2629
1317 1735807 6943225 2635
1323 1751653 7006609 2647
1331 1772893 7091569 2663
1340 1796941 7187761 2681
1343 1804993 7219969 2687
1349 1821151 7284601 2699
1352 1829257 7317025 2705
1359 1848241 7392961 2719
1364 1861861 7447441 2729
1365 1864591 7458361 2731
1373 1886503 7546009 2747
1380 1905781 7623121 2761
1386 1922383 7689529 2773
1392 1939057 7756225 2785
1401 1964203 7856809 2803
1415 2003641 8014561 2831
1421 2020663 8082649 2843
1422 2023507 8094025 2845
1427 2037757 8151025 2855
1434 2057791 8231161 2869
1440 2075041 8300161 2881
1442 2080807 8323225 2885
1443 2083693 8334769 2887
1448 2098153 8392609 2897
1449 2101051 8404201 2899
1454 2115571 8462281 2909
1473 2171203 8684809 2947
1475 2177101 8708401 2951
1484 2203741 8814961 2969
1487 2212657 8850625 2975
1494 2233531 8934121 2989
1505 2266531 9066121 3011
1515 2296741 9186961 3031
1520 2311921 9247681 3041
1526 2330203 9320809 3053
1529 2339371 9357481 3059
1536 2360833 9443329 3073
1539 2370061 9480241 3079
1547 2394757 9579025 3095
1548 2397853 9591409 3097
1559 2432041 9728161 3119
1560 2435161 9740641 3121
1562 2441407 9765625 3125
1566 2453923 9815689 3133
1568 2460193 9840769 3137
1581 2501143 10004569 3163
1583 2507473 10029889 3167
1590 2529691 10118761 3181
1592 2536057 10144225 3185
1596 2548813 10195249 3193
1611 2596933 10387729 3223
1616 2613073 10452289 3233
1620 2626021 10504081 3241
1632 2665057 10660225 3265
1644 2704381 10817521 3289
1646 2710963 10843849 3293
1650 2724151 10896601 3301
1658 2750623 11002489 3317
1659 2753941 11015761 3319
1665 2773891 11095561 3331
1676 2810653 11242609 3353
1685 2840911 11363641 3371
1692 2864557 11458225 3385
1695 2874721 11498881 3391
1700 2891701 11566801 3401
1701 2895103 11580409 3403
1707 2915557 11662225 3415
1709 2922391 11689561 3419
1716 2946373 11785489 3433
1718 2953243 11812969 3437
1746 3050263 12201049 3493
1748 3057253 12229009 3497
1757 3088807 12355225 3515
1767 3124057 12496225 3535
1770 3134671 12538681 3541
1788 3198733 12794929 3577
1800 3241801 12967201 3601
1806 3263443 13053769 3613
1809 3274291 13097161 3619
1811 3281533 13126129 3623
1814 3292411 13169641 3629
1818 3306943 13227769 3637
1826 3336103 13344409 3653
1832 3358057 13432225 3665
1841 3391123 13564489 3683
1847 3413257 13653025 3695
1848 3416953 13667809 3697
1853 3435463 13741849 3707
1863 3472633 13890529 3727
1886 3558883 14235529 3773
1895 3592921 14371681 3791
1902 3619507 14478025 3805
1923 3699853 14799409 3847
1931 3730693 14922769 3863
1932 3734557 14938225 3865
1952 3812257 15249025 3905
1956 3827893 15311569 3913
1970 3882871 15531481 3941
1973 3894703 15578809 3947
1974 3898651 15594601 3949
1977 3910507 15642025 3955
1982 3930307 15721225 3965
1986 3946183 15784729 3973
1994 3978031 15912121 3989
2000 4002001 16008001 4001
2010 4042111 16168441 4021
2015 4062241 16248961 4031
2016 4066273 16265089 4033
2022 4090507 16362025 4045
2033 4135123 16540489 4067
2043 4175893 16703569 4087
2049 4200451 16801801 4099
2054 4220971 16883881 4109
2058 4237423 16949689 4117
2064 4262161 17048641 4129
2073 4299403 17197609 4147
2075 4307701 17230801 4151
2079 4324321 17297281 4159
2085 4349311 17397241 4171
2091 4374373 17497489 4183
2105 4433131 17732521 4211
2112 4462657 17850625 4225
2117 4483807 17935225 4235
2129 4534771 18139081 4259
2136 4564633 18258529 4273
2138 4573183 18292729 4277
2142 4590307 18361225 4285
2145 4603171 18412681 4291
2157 4654807 18619225 4315
2159 4663441 18653761 4319
2162 4676407 18705625 4325
2163 4680733 18722929 4327
2168 4702393 18809569 4337
2171 4715413 18861649 4343
2183 4767673 19070689 4367
2201 4846603 19386409 4403
2204 4859821 19439281 4409
2205 4864231 19456921 4411
2238 5010883 20043529 4477
2241 5024323 20097289 4483
2247 5051257 20205025 4495
2255 5087281 20349121 4511
2259 5105341 20421361 4519
2262 5118907 20475625 4525
2264 5127961 20511841 4529
2273 5168803 20675209 4547
2276 5182453 20729809 4553
2280 5200681 20802721 4561
2301 5296903 21187609 4603
2303 5306113 21224449 4607
2309 5333791 21335161 4619
2313 5352283 21409129 4627
2318 5375443 21501769 4637
2324 5403301 21613201 4649
2339 5473261 21893041 4679
2345 5501371 22005481 4691
2360 5571961 22287841 4721
2364 5590861 22363441 4729
2372 5628757 22515025 4745
2373 5633503 22534009 4747
2385 5690611 22762441 4771
2387 5700157 22800625 4775
2390 5714491 22857961 4781
2397 5748007 22992025 4795
2402 5772007 23088025 4805
2409 5805691 23222761 4819
2411 5815333 23261329 4823
2429 5902471 23609881 4859
2430 5907331 23629321 4861
2435 5931661 23726641 4871
2442 5965807 23863225 4885
2450 6004951 24019801 4901
2451 6009853 24039409 4903
2456 6034393 24137569 4913
2463 6068833 24275329 4927
2465 6078691 24314761 4931
2471 6108313 24433249 4943
2478 6142963 24571849 4957
2483 6167773 24671089 4967
2484 6172741 24690961 4969
2493 6217543 24870169 4987
2495 6227521 24910081 4991
2498 6242503 24970009 4997
2511 6307633 25230529 5023
2513 6317683 25270729 5027
2523 6368053 25472209 5047
2535 6428761 25715041 5071
2540 6454141 25816561 5081
2541 6459223 25836889 5083
2555 6530581 26122321 5111
2556 6535693 26142769 5113
2558 6545923 26183689 5117
2561 6561283 26245129 5123
2562 6566407 26265625 5125
2568 6597193 26388769 5137
2574 6628051 26512201 5149
2589 6705511 26822041 5179
2597 6747007 26988025 5195
2604 6783421 27133681 5209
2607 6799057 27196225 5215
2618 6856543 27426169 5237
2625 6893251 27573001 5251
2628 6909013 27636049 5257
2639 6966961 27867841 5279
2646 7003963 28015849 5293
2649 7019851 28079401 5299
2651 7030453 28121809 5303
2658 7067623 28270489 5317
2663 7094233 28376929 5327
2673 7147603 28590409 5347
2682 7195807 28783225 5365
2684 7206541 28826161 5369
2688 7228033 28912129 5377
2696 7271113 29084449 5393
2703 7308913 29235649 5407
2708 7335973 29343889 5417
2714 7368511 29474041 5429
2721 7406563 29626249 5443
2723 7417453 29669809 5447
2729 7450171 29800681 5459
2730 7455631 29822521 5461
2735 7482961 29931841 5471
2736 7488433 29953729 5473
2742 7521307 30085225 5485
2771 7681213 30724849 5543
2787 7770157 31080625 5575
2789 7781311 31125241 5579
2793 7803643 31214569 5587
2814 7921411 31685641 5629
2828 8000413 32001649 5657
2840 8068441 32273761 5681
2841 8074123 32296489 5683
2849 8119651 32478601 5699
2862 8193907 32775625 5725
2864 8205361 32821441 5729
2868 8228293 32913169 5737
2870 8239771 32959081 5741
2871 8245513 32982049 5743
2873 8257003 33028009 5747
2883 8314573 33258289 5767
2885 8326111 33304441 5771
2891 8360773 33443089 5783
2894 8378131 33512521 5789
2898 8401303 33605209 5797
2906 8447743 33790969 5813
2922 8541007 34164025 5845
2925 8558551 34234201 5851
2936 8623033 34492129 5873
2943 8664193 34656769 5887
2948 8693653 34774609 5897
2955 8734981 34939921 5911
2957 8746807 34987225 5915
2966 8800123 35200489 5933
2969 8817931 35271721 5939
2982 8895307 35581225 5965
2996 8979013
|
|
Posted by Charlie
on 2023-06-21 12:55:18 |
an answer -- strictly speaking
