Determine all possible quintuplets (p, q, r, s, t) of positive integers that satisfy this equation:
⌊(p+q)/3⌋2 +⌊(q+r)/3⌋2 + ⌊(r+s)/3⌋2 + ⌊(s+t)/3⌋2 = 38
*** ⌊p⌋ is the floor function. ie. the greatest integer less than or equal to p.
****** Adapted from a problem appearing at an Austrian Mathematical Olympiad in 2007.
**** Computer program assisted solutions are welcome, but a semi-analytic methodology, that is: hand calculator and p&p, is preferred.
clc,clearvars
for p=1:51
for q=1:51
a=floor((p+q)/3)^2;
for r=1:51
b=floor((r+q)/3)^2;
for s=1:51
c=floor((r+s)/3)^2;
for t=1:51
d=floor((s+t)/3)^2;
rhs=a+b+c+d;
if rhs==38 && 100*t+s >= 100*p+q
fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d ',[p q r s t])
end
end
end
end
end
end
The puzzle now is to show 4994 solutions, as
I don't know a shorthand way of categorizing these into groups.
Already incorparated in the above code is that the
lexicographic order from left to right is less than or equal to
that from right to left.
This enables the list to show only 2497 entries.
As this is exactly half, it indicates there are no palindromes in the set.
first part:
1 1 2 1 17
1 1 2 1 18
1 1 2 1 19
1 1 2 2 16
1 1 2 2 17
1 1 2 2 18
1 1 2 3 15
1 1 2 3 16
1 1 2 3 17
1 1 3 1 17
1 1 3 1 18
1 1 3 1 19
1 1 3 2 16
1 1 3 2 17
1 1 3 2 18
1 1 4 1 17
1 1 4 1 18
1 1 4 1 19
1 1 5 4 11
1 1 5 4 12
1 1 5 4 13
1 1 5 5 10
1 1 5 5 11
1 1 5 5 12
1 1 5 6 9
1 1 5 6 10
1 1 5 6 11
1 1 5 10 1
1 1 6 3 12
1 1 6 3 13
1 1 6 3 14
1 1 6 4 11
1 1 6 4 12
1 1 6 4 13
1 1 6 5 10
1 1 6 5 11
1 1 6 5 12
1 1 6 9 1
1 1 6 9 2
1 1 6 10 1
1 1 7 2 13
1 1 7 2 14
1 1 7 2 15
1 1 7 3 12
1 1 7 3 13
1 1 7 3 14
1 1 7 4 11
1 1 7 4 12
1 1 7 4 13
1 1 7 8 1
1 1 7 8 2
1 1 7 8 3
1 1 7 9 1
1 1 7 9 2
1 1 7 10 1
1 1 8 7 1
1 1 9 6 1
1 1 9 6 2
1 1 9 7 1
1 1 10 5 1
1 1 10 5 2
1 1 10 5 3
1 1 10 6 1
1 1 10 6 2
1 1 10 7 1
1 2 1 1 17
1 2 1 1 18
1 2 1 1 19
1 3 1 1 17
1 3 1 1 18
1 3 1 1 19
1 4 1 1 17
1 4 1 1 18
1 4 1 1 19
1 5 4 5 7
1 5 4 5 8
1 5 4 5 9
1 5 4 6 6
1 5 4 6 7
1 5 4 6 8
1 5 4 7 5
1 5 4 7 6
1 5 4 7 7
1 5 4 8 1
1 5 4 8 2
1 5 4 8 3
1 5 4 9 1
1 5 4 9 2
1 5 4 10 1
1 5 5 4 8
1 5 5 4 9
1 5 5 4 10
1 5 5 5 7
1 5 5 5 8
1 5 5 5 9
1 5 5 6 6
1 5 5 6 7
1 5 5 6 8
1 5 5 7 2
1 5 5 7 3
1 5 5 7 4
1 5 5 8 1
1 5 5 8 2
1 5 5 8 3
1 5 5 9 1
1 5 5 9 2
1 5 6 3 9
1 5 6 3 10
1 5 6 3 11
1 5 6 4 8
1 5 6 4 9
1 5 6 4 10
1 5 6 5 7
1 5 6 5 8
1 5 6 5 9
1 5 6 6 3
1 5 6 6 4
1 5 6 6 5
1 5 6 7 2
1 5 6 7 3
1 5 6 7 4
1 5 6 8 1
1 5 6 8 2
1 5 6 8 3
1 5 7 2 7
1 5 7 2 8
1 5 7 2 9
1 5 7 3 6
1 5 7 3 7
1 5 7 3 8
1 5 7 4 5
1 5 7 4 6
1 5 7 4 7
1 5 8 1 8
1 5 8 1 9
1 5 8 1 10
1 5 8 2 7
1 5 8 2 8
1 5 8 2 9
1 5 8 3 6
1 5 8 3 7
1 5 8 3 8
1 5 9 1 8
1 5 9 1 9
1 5 9 1 10
1 5 9 2 7
1 5 9 2 8
1 5 9 2 9
1 6 3 6 6
1 6 3 6 7
1 6 3 6 8
1 6 3 7 5
1 6 3 7 6
1 6 3 7 7
1 6 3 8 4
1 6 3 8 5
1 6 3 8 6
1 6 3 9 1
1 6 3 9 2
1 6 3 10 1
1 6 4 5 7
1 6 4 5 8
1 6 4 5 9
1 6 4 6 6
1 6 4 6 7
1 6 4 6 8
1 6 4 7 5
1 6 4 7 6
1 6 4 7 7
1 6 4 8 1
1 6 4 8 2
1 6 4 8 3
1 6 4 9 1
1 6 4 9 2
1 6 4 10 1
1 6 5 4 8
1 6 5 4 9
1 6 5 4 10
1 6 5 5 7
1 6 5 5 8
1 6 5 5 9
1 6 5 6 6
1 6 5 6 7
1 6 5 6 8
1 6 5 7 2
1 6 5 7 3
1 6 5 7 4
1 6 5 8 1
1 6 5 8 2
1 6 5 8 3
1 6 5 9 1
1 6 5 9 2
1 6 6 3 6
1 6 6 3 7
1 6 6 3 8
1 6 6 4 5
1 6 6 4 6
1 6 6 4 7
1 6 6 5 4
1 6 6 5 5
1 6 6 5 6
1 6 7 2 7
1 6 7 2 8
1 6 7 2 9
1 6 7 3 6
1 6 7 3 7
1 6 7 3 8
1 6 7 4 5
1 6 7 4 6
1 6 7 4 7
1 6 8 1 8
1 6 8 1 9
1 6 8 1 10
1 6 8 2 7
1 6 8 2 8
1 6 8 2 9
1 6 8 3 6
1 6 8 3 7
1 6 8 3 8
1 7 2 7 5
1 7 2 7 6
1 7 2 7 7
1 7 2 8 4
1 7 2 8 5
1 7 2 8 6
1 7 2 9 3
1 7 2 9 4
1 7 2 9 5
1 7 2 10 1
1 7 3 6 6
1 7 3 6 7
1 7 3 6 8
1 7 3 7 5
1 7 3 7 6
1 7 3 7 7
1 7 3 8 4
1 7 3 8 5
1 7 3 8 6
1 7 3 9 1
1 7 3 9 2
1 7 3 10 1
1 7 4 5 7
1 7 4 5 8
1 7 4 5 9
1 7 4 6 6
1 7 4 6 7
1 7 4 6 8
1 7 4 7 5
1 7 4 7 6
1 7 4 7 7
1 7 4 8 1
1 7 4 8 2
1 7 4 8 3
1 7 4 9 1
1 7 4 9 2
1 7 4 10 1
1 7 5 4 5
1 7 5 4 6
1 7 5 4 7
1 7 5 5 4
1 7 5 5 5
1 7 5 5 6
1 7 5 6 3
1 7 5 6 4
1 7 5 6 5
1 7 6 3 6
1 7 6 3 7
1 7 6 3 8
1 7 6 4 5
1 7 6 4 6
1 7 6 4 7
1 7 6 5 4
1 7 6 5 5
1 7 6 5 6
1 7 7 2 7
1 7 7 2 8
1 7 7 2 9
1 7 7 3 6
1 7 7 3 7
1 7 7 3 8
1 7 7 4 5
1 7 7 4 6
1 7 7 4 7
1 8 1 5 7
1 8 1 5 8
1 8 1 5 9
1 8 1 6 6
1 8 1 6 7
1 8 1 6 8
1 8 1 7 5
1 8 1 7 6
1 8 1 7 7
1 8 2 4 8
1 8 2 4 9
1 8 2 4 10
1 8 2 5 7
1 8 2 5 8
1 8 2 5 9
1 8 2 6 6
1 8 2 6 7
1 8 2 6 8
1 8 3 3 9
1 8 3 3 10
1 8 3 3 11
1 8 3 4 8
1 8 3 4 9
1 8 3 4 10
1 8 3 5 7
1 8 3 5 8
1 8 3 5 9
1 8 4 2 7
1 8 4 2 8
1 8 4 2 9
1 8 4 3 6
1 8 4 3 7
1 8 4 3 8
1 8 4 4 5
1 8 4 4 6
1 8 4 4 7
1 8 4 5 2
1 8 4 5 3
1 8 4 6 2
1 8 5 1 8
1 8 5 1 9
1 8 5 1 10
1 8 5 2 7
1 8 5 2 8
1 8 5 2 9
1 8 5 3 6
1 8 5 3 7
1 8 5 3 8
1 8 5 4 2
1 8 5 4 3
1 8 5 4 4
1 8 5 5 2
1 8 5 5 3
1 8 5 6 2
1 8 6 1 8
1 8 6 1 9
1 8 6 1 10
1 8 6 2 7
1 8 6 2 8
1 8 6 2 9
1 8 6 3 3
1 8 6 3 4
1 8 6 3 5
1 8 6 4 2
1 8 6 4 3
1 8 6 4 4
1 8 6 5 2
1 8 6 5 3
1 9 1 5 7
1 9 1 5 8
1 9 1 5 9
1 9 1 6 6
1 9 1 6 7
1 9 1 6 8
1 9 1 7 5
1 9 1 7 6
1 9 1 7 7
1 9 2 4 8
1 9 2 4 9
1 9 2 4 10
1 9 2 5 7
1 9 2 5 8
1 9 2 5 9
1 9 2 6 6
1 9 2 6 7
1 9 2 6 8
1 9 3 3 6
1 9 3 3 7
1 9 3 3 8
1 9 3 4 5
1 9 3 4 6
1 9 3 4 7
1 9 3 5 4
1 9 3 5 5
1 9 3 5 6
1 9 3 6 2
1 9 4 2 7
1 9 4 2 8
1 9 4 2 9
1 9 4 3 6
1 9 4 3 7
1 9 4 3 8
1 9 4 4 5
1 9 4 4 6
1 9 4 4 7
1 9 4 5 2
1 9 4 5 3
1 9 4 6 2
1 9 5 1 8
1 9 5 1 9
1 9 5 1 10
1 9 5 2 7
1 9 5 2 8
1 9 5 2 9
1 9 5 3 6
1 9 5 3 7
1 9 5 3 8
1 9 5 4 2
1 9 5 4 3
1 9 5 4 4
1 9 5 5 2
1 9 5 5 3
1 9 5 6 2
1 10 1 5 7
1 10 1 5 8
1 10 1 5 9
1 10 1 6 6
1 10 1 6 7
1 10 1 6 8
1 10 1 7 5
1 10 1 7 6
1 10 1 7 7
1 10 2 4 5
1 10 2 4 6
1 10 2 4 7
1 10 2 5 4
1 10 2 5 5
1 10 2 5 6
1 10 2 6 3
1 10 2 6 4
1 10 2 6 5
1 10 3 3 6
1 10 3 3 7
1 10 3 3 8
1 10 3 4 5
1 10 3 4 6
1 10 3 4 7
1 10 3 5 4
1 10 3 5 5
1 10 3 5 6
1 10 3 6 2
1 10 4 2 7
1 10 4 2 8
1 10 4 2 9
1 10 4 3 6
1 10 4 3 7
1 10 4 3 8
1 10 4 4 5
1 10 4 4 6
1 10 4 4 7
1 10 4 5 2
1 10 4 5 3
1 10 4 6 2
2 1 1 2 16
2 1 1 2 17
2 1 1 2 18
2 1 1 3 15
2 1 1 3 16
2 1 1 3 17
2 1 1 4 14
2 1 1 4 15
2 1 1 4 16
2 2 1 1 17
2 2 1 1 18
2 2 1 1 19
2 3 1 1 17
2 3 1 1 18
2 3 1 1 19
2 4 5 4 8
2 4 5 4 9
2 4 5 4 10
2 4 5 5 7
2 4 5 5 8
2 4 5 5 9
2 4 5 6 6
2 4 5 6 7
2 4 5 6 8
2 4 5 7 2
2 4 5 7 3
2 4 5 7 4
2 4 5 8 2
2 4 5 8 3
2 4 5 9 2
2 4 6 3 9
2 4 6 3 10
2 4 6 3 11
2 4 6 4 8
2 4 6 4 9
2 4 6 4 10
2 4 6 5 7
2 4 6 5 8
2 4 6 5 9
2 4 6 6 3
2 4 6 6 4
2 4 6 6 5
2 4 6 7 2
2 4 6 7 3
2 4 6 7 4
2 4 6 8 2
2 4 6 8 3
2 4 7 2 10
2 4 7 2 11
2 4 7 2 12
2 4 7 3 9
2 4 7 3 10
2 4 7 3 11
2 4 7 4 8
2 4 7 4 9
2 4 7 4 10
2 4 7 5 4
2 4 7 5 5
2 4 7 5 6
2 4 7 6 3
2 4 7 6 4
2 4 7 6 5
2 4 7 7 2
2 4 7 7 3
2 4 7 7 4
2 4 8 1 8
2 4 8 1 9
2 4 8 1 10
2 4 8 2 7
2 4 8 2 8
2 4 8 2 9
2 4 8 3 6
2 4 8 3 7
2 4 8 3 8
2 4 9 1 8
2 4 9 1 9
2 4 9 1 10
2 4 9 2 7
2 4 9 2 8
2 4 9 2 9
2 4 10 1 8
2 4 10 1 9
2 4 10 1 10
2 5 4 5 7
2 5 4 5 8
2 5 4 5 9
2 5 4 6 6
2 5 4 6 7
2 5 4 6 8
2 5 4 7 5
2 5 4 7 6
2 5 4 7 7
2 5 4 8 2
2 5 4 8 3
2 5 4 9 2
2 5 5 4 8
2 5 5 4 9
2 5 5 4 10
2 5 5 5 7
2 5 5 5 8
2 5 5 5 9
2 5 5 6 6
2 5 5 6 7
2 5 5 6 8
2 5 5 7 2
2 5 5 7 3
2 5 5 7 4
2 5 5 8 2
2 5 5 8 3
2 5 5 9 2
2 5 6 3 9
2 5 6 3 10
2 5 6 3 11
2 5 6 4 8
2 5 6 4 9
2 5 6 4 10
2 5 6 5 7
2 5 6 5 8
2 5 6 5 9
2 5 6 6 3
2 5 6 6 4
2 5 6 6 5
2 5 6 7 2
2 5 6 7 3
2 5 6 7 4
2 5 6 8 2
2 5 6 8 3
2 5 7 2 7
2 5 7 2 8
2 5 7 2 9
2 5 7 3 6
2 5 7 3 7
2 5 7 3 8
2 5 7 4 5
2 5 7 4 6
2 5 7 4 7
2 5 8 1 8
2 5 8 1 9
2 5 8 1 10
2 5 8 2 7
2 5 8 2 8
2 5 8 2 9
2 5 8 3 6
2 5 8 3 7
2 5 8 3 8
2 5 9 1 8
2 5 9 1 9
2 5 9 1 10
2 5 9 2 7
2 5 9 2 8
2 5 9 2 9
2 6 3 6 6
2 6 3 6 7
2 6 3 6 8
2 6 3 7 5
2 6 3 7 6
2 6 3 7 7
2 6 3 8 4
2 6 3 8 5
2 6 3 8 6
2 6 3 9 2
2 6 4 5 7
2 6 4 5 8
2 6 4 5 9
2 6 4 6 6
2 6 4 6 7
2 6 4 6 8
2 6 4 7 5
2 6 4 7 6
2 6 4 7 7
2 6 4 8 2
2 6 4 8 3
2 6 4 9 2
2 6 5 4 8
2 6 5 4 9
2 6 5 4 10
2 6 5 5 7
2 6 5 5 8
2 6 5 5 9
2 6 5 6 6
2 6 5 6 7
2 6 5 6 8
2 6 5 7 2
2 6 5 7 3
2 6 5 7 4
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Edited on August 4, 2023, 12:48 pm
Edited on August 4, 2023, 12:49 pm
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Posted by Charlie
on 2023-08-04 12:47:05 |
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