(In reply to
Second half of solution by Tristan)
A program checking all cases of triangles with their two legs adding to no more than 1000 and hypotenuses no more than 500, finds no perimeter less than 176.
Some other sets of triangles found are shown below with the lengths of the segments (there was no check to prevent duplicate measures, except that both legs of a triangle could not be equal), the ratio of the legs in each triangle and the total perimeter of the quadrilateral. All those found seem to have at least a 3/4 or 5/12 ratio among them.
15 20 48 36
25 52 60 39
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 176
21 28 96 72
35 100 120 75
3 / 4 ; 7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 330
15 36 48 20
39 60 52 25
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 176
24 32 60 45
40 68 75 51
3 / 4 ; 8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 234
27 36 160 120
45 164 200 123
3 / 4 ; 9 / 40 ; 4 / 3 ; 40 / 9 ; 532
20 48 36 15
52 60 39 25
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 176
24 45 60 32
51 75 68 40
8 / 15 ; 3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 234
30 40 96 72
50 104 120 78
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 352
33 44 240 180
55 244 300 183
3 / 4 ; 11 / 60 ; 4 / 3 ; 60 / 11 ; 782
36 48 20 15
60 52 25 39
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 176
36 48 140 105
60 148 175 111
3 / 4 ; 12 / 35 ; 4 / 3 ; 35 / 12 ; 494
25 60 91 312
65 109 325 313
5 / 12 ; 60 / 91 ; 7 / 24 ; 312 / 25 ; 812
32 60 45 24
68 75 51 40
8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 3 / 4 ; 234
21 72 96 28
75 120 100 35
7 / 24 ; 3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 330
42 56 192 144
70 200 240 150
3 / 4 ; 7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 660
30 72 96 40
78 120 104 50
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 352
45 60 32 24
75 68 40 51
3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 8 / 15 ; 234
45 60 144 108
75 156 180 117
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 528
48 64 120 90
80 136 150 102
3 / 4 ; 8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 468
48 64 252 189
80 260 315 195
3 / 4 ; 16 / 63 ; 4 / 3 ; 63 / 16 ; 850
40 75 180 96
85 195 204 104
8 / 15 ; 5 / 12 ; 15 / 8 ; 12 / 5 ; 588
35 84 288 120
91 300 312 125
5 / 12 ; 7 / 24 ; 12 / 5 ; 24 / 7 ; 828
60 63 84 80
87 105 116 100
20 / 21 ; 3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 408
28 96 72 21
100 120 75 35
7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 3 / 4 ; 330
40 96 72 30
104 120 78 50
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 352
40 96 180 75
104 204 195 85
5 / 12 ; 8 / 15 ; 12 / 5 ; 15 / 8 ; 588
65 72 320 156
97 328 356 169
65 / 72 ; 9 / 40 ; 80 / 39 ; 12 / 5 ; 950
48 90 120 64
102 150 136 80
8 / 15 ; 3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 468
60 80 84 63
100 116 105 87
3 / 4 ; 20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 408
60 80 192 144
100 208 240 156
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 704
36 105 140 48
111 175 148 60
12 / 35 ; 3 / 4 ; 35 / 12 ; 4 / 3 ; 494
27 120 160 36
123 200 164 45
9 / 40 ; 3 / 4 ; 40 / 9 ; 4 / 3 ; 532
63 84 80 60
105 116 100 87
3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 20 / 21 ; 408
63 84 288 216
105 300 360 225
3 / 4 ; 7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 990
60 91 312 25
109 325 313 65
60 / 91 ; 7 / 24 ; 312 / 25 ; 5 / 12 ; 812
45 108 144 60
117 180 156 75
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 528
66 88 105 360
110 137 375 366
3 / 4 ; 88 / 105 ; 7 / 24 ; 60 / 11 ; 988
35 120 288 84
125 312 300 91
7 / 24 ; 5 / 12 ; 24 / 7 ; 12 / 5 ; 828
80 84 63 60
116 105 87 100
20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 3 / 4 ; 408
72 96 28 21
120 100 35 75
3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 7 / 24 ; 330
72 96 40 30
120 104 50 78
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 352
72 96 180 135
120 204 225 153
3 / 4 ; 8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 702
72 96 280 210
120 296 350 222
3 / 4 ; 12 / 35 ; 4 / 3 ; 35 / 12 ; 988
75 100 240 180
125 260 300 195
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 880
64 120 90 48
136 150 102 80
8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 3 / 4 ; 468
42 144 192 56
150 240 200 70
7 / 24 ; 3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 660
48 140 105 36
148 175 111 60
12 / 35 ; 4 / 3 ; 35 / 12 ; 3 / 4 ; 494
88 105 360 66
137 375 366 110
88 / 105 ; 7 / 24 ; 60 / 11 ; 3 / 4 ; 988
36 160 120 27
164 200 123 45
9 / 40 ; 4 / 3 ; 40 / 9 ; 3 / 4 ; 532
84 112 180 135
140 212 225 159
3 / 4 ; 28 / 45 ; 4 / 3 ; 45 / 28 ; 736
60 144 108 45
156 180 117 75
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 528
60 144 192 80
156 240 208 100
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 704
100 105 252 240
145 273 348 260
20 / 21 ; 5 / 12 ; 21 / 20 ; 12 / 5 ; 1026
72 135 180 96
153 225 204 120
8 / 15 ; 3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 702
90 120 64 48
150 136 80 102
3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 8 / 15 ; 468
90 120 288 216
150 312 360 234
3 / 4 ; 5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 1056
33 180 240 44
183 300 244 55
11 / 60 ; 3 / 4 ; 60 / 11 ; 4 / 3 ; 782
84 135 180 112
159 225 212 140
28 / 45 ; 3 / 4 ; 45 / 28 ; 4 / 3 ; 736
65 156 320 72
169 356 328 97
5 / 12 ; 39 / 80 ; 40 / 9 ; 72 / 65 ; 950
96 128 240 180
160 272 300 204
3 / 4 ; 8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 936
99 132 224 168
165 260 280 195
3 / 4 ; 33 / 56 ; 4 / 3 ; 56 / 33 ; 900
48 189 252 64
195 315 260 80
16 / 63 ; 3 / 4 ; 63 / 16 ; 4 / 3 ; 850
105 140 48 36
175 148 60 111
3 / 4 ; 35 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 35 ; 494
120 126 168 160
174 210 232 200
20 / 21 ; 3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 816
56 192 144 42
200 240 150 70
7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 3 / 4 ; 660
108 144 60 45
180 156 75 117
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 528
108 144 308 231
180 340 385 255
3 / 4 ; 36 / 77 ; 4 / 3 ; 77 / 36 ; 1160
75 180 96 40
195 204 104 85
5 / 12 ; 15 / 8 ; 12 / 5 ; 8 / 15 ; 588
75 180 240 100
195 300 260 125
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 880
99 168 224 132
195 280 260 165
33 / 56 ; 3 / 4 ; 56 / 33 ; 4 / 3 ; 900
80 192 144 60
208 240 156 100
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 704
96 180 75 40
204 195 85 104
8 / 15 ; 12 / 5 ; 15 / 8 ; 5 / 12 ; 588
96 180 135 72
204 225 153 120
8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 3 / 4 ; 702
96 180 240 128
204 300 272 160
8 / 15 ; 3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 936
63 216 288 84
225 360 300 105
7 / 24 ; 3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 990
120 160 36 27
200 164 45 123
3 / 4 ; 40 / 9 ; 4 / 3 ; 9 / 40 ; 532
120 160 168 126
200 232 210 174
3 / 4 ; 20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 816
120 160 300 225
200 340 375 255
3 / 4 ; 8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 1170
72 210 280 96
222 350 296 120
12 / 35 ; 3 / 4 ; 35 / 12 ; 4 / 3 ; 988
44 240 180 33
244 300 183 55
11 / 60 ; 4 / 3 ; 60 / 11 ; 3 / 4 ; 782
112 180 135 84
212 225 159 140
28 / 45 ; 4 / 3 ; 45 / 28 ; 3 / 4 ; 736
126 168 160 120
210 232 200 174
3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 20 / 21 ; 816
90 216 288 120
234 360 312 150
5 / 12 ; 3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 1056
144 165 220 192
219 275 292 240
48 / 55 ; 3 / 4 ; 55 / 48 ; 4 / 3 ; 1026
135 180 96 72
225 204 120 153
3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 8 / 15 ; 702
135 180 112 84
225 212 140 159
3 / 4 ; 45 / 28 ; 4 / 3 ; 28 / 45 ; 736
64 252 189 48
260 315 195 80
16 / 63 ; 4 / 3 ; 63 / 16 ; 3 / 4 ; 850
160 168 126 120
232 210 174 200
20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 3 / 4 ; 816
144 192 56 42
240 200 70 150
3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 7 / 24 ; 660
144 192 80 60
240 208 100 156
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 704
144 192 220 165
240 292 275 219
3 / 4 ; 48 / 55 ; 4 / 3 ; 55 / 48 ; 1026
25 312 91 60
313 325 109 65
25 / 312 ; 24 / 7 ; 91 / 60 ; 12 / 5 ; 812
108 231 308 144
255 385 340 180
36 / 77 ; 3 / 4 ; 77 / 36 ; 4 / 3 ; 1160
100 240 180 75
260 300 195 125
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 880
100 240 252 105
260 348 273 145
5 / 12 ; 20 / 21 ; 12 / 5 ; 21 / 20 ; 1026
120 225 300 160
255 375 340 200
8 / 15 ; 3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 1170
132 224 168 99
260 280 195 165
33 / 56 ; 4 / 3 ; 56 / 33 ; 3 / 4 ; 900
105 252 240 100
273 348 260 145
5 / 12 ; 21 / 20 ; 12 / 5 ; 20 / 21 ; 1026
128 240 180 96
272 300 204 160
8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 3 / 4 ; 936
180 189 252 240
261 315 348 300
20 / 21 ; 3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 1224
84 288 120 35
300 312 125 91
7 / 24 ; 12 / 5 ; 24 / 7 ; 5 / 12 ; 828
84 288 216 63
300 360 225 105
7 / 24 ; 4 / 3 ; 24 / 7 ; 3 / 4 ; 990
96 280 210 72
296 350 222 120
12 / 35 ; 4 / 3 ; 35 / 12 ; 3 / 4 ; 988
165 220 192 144
275 292 240 219
3 / 4 ; 55 / 48 ; 4 / 3 ; 48 / 55 ; 1026
72 320 156 65
328 356 169 97
9 / 40 ; 80 / 39 ; 12 / 5 ; 65 / 72 ; 950
168 224 132 99
280 260 165 195
3 / 4 ; 56 / 33 ; 4 / 3 ; 33 / 56 ; 900
91 312 25 60
325 313 65 109
7 / 24 ; 312 / 25 ; 5 / 12 ; 60 / 91 ; 812
120 288 84 35
312 300 91 125
5 / 12 ; 24 / 7 ; 12 / 5 ; 7 / 24 ; 828
120 288 216 90
312 360 234 150
5 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 5 ; 3 / 4 ; 1056
195 216 288 260
291 360 388 325
65 / 72 ; 3 / 4 ; 72 / 65 ; 4 / 3 ; 1364
192 220 165 144
292 275 219 240
48 / 55 ; 4 / 3 ; 55 / 48 ; 3 / 4 ; 1026
180 240 44 33
300 244 55 183
3 / 4 ; 60 / 11 ; 4 / 3 ; 11 / 60 ; 782
180 240 100 75
300 260 125 195
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 880
180 240 128 96
300 272 160 204
3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 8 / 15 ; 936
180 240 252 189
300 348 315 261
3 / 4 ; 20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 1224
66 360 105 88
366 375 137 110
11 / 60 ; 24 / 7 ; 105 / 88 ; 4 / 3 ; 988
189 252 64 48
315 260 80 195
3 / 4 ; 63 / 16 ; 4 / 3 ; 16 / 63 ; 850
189 252 240 180
315 348 300 261
3 / 4 ; 21 / 20 ; 4 / 3 ; 20 / 21 ; 1224
144 308 231 108
340 385 255 180
36 / 77 ; 4 / 3 ; 77 / 36 ; 3 / 4 ; 1160
195 260 288 216
325 388 360 291
3 / 4 ; 65 / 72 ; 4 / 3 ; 72 / 65 ; 1364
160 300 225 120
340 375 255 200
8 / 15 ; 4 / 3 ; 15 / 8 ; 3 / 4 ; 1170
105 360 66 88
375 366 110 137
7 / 24 ; 60 / 11 ; 3 / 4 ; 88 / 105 ; 988
156 320 72 65
356 328 97 169
39 / 80 ; 40 / 9 ; 72 / 65 ; 5 / 12 ; 950
210 280 96 72
350 296 120 222
3 / 4 ; 35 / 12 ; 4 / 3 ; 12 / 35 ; 988
240 252 105 100
348 273 145 260
20 / 21 ; 12 / 5 ; 21 / 20 ; 5 / 12 ; 1026
240 252 189 180
348 315 261 300
20 / 21 ; 4 / 3 ; 21 / 20 ; 3 / 4 ; 1224
216 288 84 63
360 300 105 225
3 / 4 ; 24 / 7 ; 4 / 3 ; 7 / 24 ; 990
216 288 120 90
360 312 150 234
3 / 4 ; 12 / 5 ; 4 / 3 ; 5 / 12 ; 1056
216 288 260 195
360 388 325 291
3 / 4 ; 72 / 65 ; 4 / 3 ; 65 / 72 ; 1364
225 300 160 120
375 340 200 255
3 / 4 ; 15 / 8 ; 4 / 3 ; 8 / 15 ; 1170
231 308 144 108
385 340 180 255
3 / 4 ; 77 / 36 ; 4 / 3 ; 36 / 77 ; 1160
260 288 216 195
388 360 291 325
65 / 72 ; 4 / 3 ; 72 / 65 ; 3 / 4 ; 1364
The program (note some lines have been commented out by an apostrophe, notably those asking for the least perimeter so far):
DECLARE FUNCTION gcd! (a!, b!)
DIM n%(650, 2)
FOR t = 1 TO 1000
FOR n1 = 1 TO t / 2
n2 = t - n1
hsq = n1 * n1 + n2 * n2
h = INT(SQR(hsq) + .5)
IF h * h = hsq AND h < 400 THEN
PRINT n1, n2, h
ct = ct + 1
' IF ct MOD 45 = 0 THEN
' DO: LOOP UNTIL INKEY$ > ""
' END IF
n%(ct, 1) = n1
n%(ct, 2) = n2
n%(ct, 0) = h
END IF
NEXT n1
NEXT t
PRINT ct
best = 999
OPEN "quadque2.txt" FOR OUTPUT AS #2
FOR i = 1 TO ct
n11 = n%(i, 1)
n12 = n%(i, 2)
t1 = n%(i, 0)
FOR j = 1 TO ct
IF j <> i THEN
IF (n%(j, 1) = n12 OR n%(j, 2) = n12) AND n%(j, 2) <> n%(j, 1) THEN
IF n%(j, 1) = n12 THEN
n21 = n12
n22 = n%(j, 2)
ELSE
n21 = n12
n22 = n%(j, 1)
END IF
t2 = n%(j, 0)
FOR k = 1 TO ct
IF j <> k AND i <> k THEN
IF (n%(k, 1) = n22 OR n%(k, 2) = n22) AND n%(k, 2) <> n%(k, 1) THEN
IF n%(k, 1) = n22 THEN
n31 = n22
n32 = n%(k, 2)
ELSE
n31 = n22
n32 = n%(k, 1)
END IF
t3 = n%(k, 0)
FOR l = 1 TO ct
IF j <> l AND i <> l AND k <> l THEN
IF (n%(l, 1) = n32 OR n%(l, 2) = n32) AND n%(l, 2) <> n%(l, 1) THEN
IF (n%(l, 1) = n11 OR n%(l, 2) = n11) AND n%(l, 2) <> n%(l, 1) AND n11 <> n32 THEN
IF n%(l, 1) = n32 THEN
n41 = n32
n42 = n%(l, 2)
ELSE
n41 = n32
n42 = n%(l, 1)
END IF
t4 = n%(l, 0)
' IF t1 + t2 + t3 + t4 <= best THEN
PRINT n11; n21; n31; n41
PRINT t1; t2; t3; t4
PRINT n11 / gcd(n11, n21); "/"; n21 / gcd(n11, n21); ";"; n21 / gcd(n21, n31); "/"; n31 / gcd(n21, n31); ";"; n31 / gcd(n31, n41); "/"; n41 / gcd(n31, n41); ";"; n41 / gcd(n41, n11); "/"; n11 / gcd(n41, n11); ";";
PRINT #2, n11; n21; n31; n41
PRINT #2, t1; t2; t3; t4
PRINT #2, n11 / gcd(n11, n21); "/"; n21 / gcd(n11, n21); ";"; n21 / gcd(n21, n31); "/"; n31 / gcd(n21, n31); ";"; n31 / gcd(n31, n41); "/"; n41 / gcd(n31, n41); ";"; n41 / gcd(n41, n11); "/"; n11 / gcd(n41, n11); ";";
best = t1 + t2 + t3 + t4
PRINT t1 + t2 + t3 + t4
PRINT #2, t1 + t2 + t3 + t4
PRINT #2,
ct2 = ct2 + 1
' IF ct2 MOD 11 = 0 THEN DO: LOOP UNTIL INKEY$ > "": PRINT
' END IF
END IF
END IF
END IF
NEXT l
END IF
END IF
NEXT k
END IF
END IF
NEXT j
NEXT i
END
FUNCTION gcd (a, b)
x = a: y = b
DO
q = INT(x / y): r = x - y * q
IF r = 0 THEN gcd = y: EXIT FUNCTION
x = y: y = r
LOOP
END FUNCTION
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Posted by Charlie
on 2005-08-29 18:24:32 |
Computer verification of minimum
