For any integer k>0, what do you think H(k,k) represents?

In the table below, I don't show a column for n=1 as those are all 1's.  Numbers over 999 are left blank to avoid abutting adjacent numbers.

 m\n 2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20
 0
 1
 2   2
 3   2   3
 4   3   4   5
 5   3   5   6   7
 6   4   7   9  10  11
 7   4   8  11  13  14  15
 8   5  10  15  18  20  21  22
 9   5  12  18  23  26  28  29  30
10   6  14  23  30  35  38  40  41  42
11   6  16  27  37  44  49  52  54  55  56
12   7  19  34  47  58  65  70  73  75  76  77
13   7  21  39  57  71  82  89  94  97  99 100 101
14   8  24  47  70  90 105 116 123 128 131 133 134 135
15   8  27  54  84 110 131 146 157 164 169 172 174 175 176
16   9  30  64 101 136 164 186 201 212 219 224 227 229 230 231
17   9  33  72 119 163 201 230 252 267 278 285 290 293 295 296 297
18  10  37  84 141 199 248 288 318 340 355 366 373 378 381 383 384 385
19  10  40  94 164 235 300 352 393 423 445 460 471 478 483 486 488 489 490
20  11  44 108 192 282 364 434 488 530 560 582 597 608 615 620 623 625 626 627
21  11  48 120 221 331 436 525 598 653 695 725 747 762 773 780 785 788 790 791
22  12  52 136 255 391 522 638 732 807 863 905 935 957 972 983 990 995 998
23  12  56 150 291 454 618 764 887 984
24  13  61 169 333 532 733 919
25  13  65 185 377 612 860
26  14  70 206 427 709
27  14  75 225 480 811
28  15  80 249 540 931
29  15  85 270 603
30  16  91 297 674
31  16  96 321 748
32  17 102 351 831
33  17 108 378 918
34  18 114 411
35  18 120 441
36  19 127 478
37  19 133 511
38  20 140 551
39  20 147 588
40  21 154 632

The sequence of H(k,k) is:

1  2  3  5  7  11  15  22  30  42  56  77  101  135  176  231  297  385  490  627  792  1002  1255  1575  1958  2436  3010  3718  4565  5604 ...

DECLARE FUNCTION h# (m#, n#)
CLEAR , , 9999
DEFDBL A-Z
CLS
FOR m = -1 TO 40
IF m > -1 THEN PRINT USING "##"; m; :  ELSE PRINT "  ";
max = 20: IF max > m THEN max = m
IF m = -1 THEN max = 20
FOR n = 2 TO max

IF m > -1 THEN
 v = h(m, n)
 IF v < 1000 THEN
  PRINT USING "####"; v;
 END IF
ELSE
 PRINT USING "####"; n;
END IF

NEXT
PRINT
NEXT
PRINT
FOR k = 1 TO 30: PRINT h(k, k); : NEXT: PRINT

FUNCTION h (m, n)
 IF n > m OR m < 0 OR n < 0 THEN
      REM
 END IF
 IF n <= 1 THEN h = 1: EXIT FUNCTION
 t = 0
 FOR i = 1 TO n
   IF m - i < i THEN
    j = m - i
   ELSE
    j = i
   END IF
   t = t + h(m - i, j)
 NEXT i
 h = t
END FUNCTION