All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Add 1, get a square II (Posted on 2009-04-26) Difficulty: 2 of 5
By adding 1 to the positive base N integer having the form XXXYYY with non leading zeroes, we get a perfect square- where X and Y are not necessarily distinct.

What are the value(s) of N, with 2 ≤ N ≤ 16, for which this is possible?

See The Solution Submitted by K Sengupta    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution solution and computer exploration | Comment 1 of 2

The simple, D2 answer to the question, is all N. For any N, if X=Y=N-1, then XXXYYY will be N^6 - 1 and adding 1 will result in N^6, a perfect square.

Here's a computer printout (going beyond the asked-for N=16):
    (each repetition of X or Y is represented in decimal for those digits larger than 9)
   

 N        X X X Y Y Y              XXXYYY (dec.)    +1     sq root
 2       1  1  1  1  1  1                  63        64      8
 3       2  2  2  2  2  2                 728       729     27
 4       3  3  3  3  3  3                4095      4096     64
 5       1  1  1  3  3  3                3968      3969     63
 5       4  4  4  4  4  4               15624     15625    125
 6       5  5  5  5  5  5               46655     46656    216
 7       6  6  6  6  6  6              117648    117649    343
 8       7  7  7  7  7  7              262143    262144    512
 9       2  2  2  6  6  6              133224    133225    365
 9       8  8  8  8  8  8              531440    531441    729
 10      1  1  1  5  5  5              111555    111556    334
 10      4  4  4  8  8  8              444888    444889    667
 10      9  9  9  9  9  9              999999   1000000   1000
 11      10  10  10  10  10  10       1771560   1771561   1331
 12      11  11  11  11  11  11       2985983   2985984   1728
 13      3  3  3  9  9  9             1207800   1207801   1099
 13      12  12  12  12  12  12       4826808   4826809   2197
 14      13  13  13  13  13  13       7529535   7529536   2744
 15      14  14  14  14  14  14      11390624  11390625   3375
 16      5  5  5  8  8  8             5593224   5593225   2365
 16      15  15  15  15  15  15      16777215  16777216   4096
 17      1  1  1  7  7  7             1510440   1510441   1229
 17      4  4  4  12  12  12          6036848   6036849   2457
 17      9  9  9  15  15  15         13579224  13579225   3685
 17      16  16  16  16  16  16      24137568  24137569   4913
 18      17  17  17  17  17  17      34012223  34012224   5832
 19      2  2  2  10  10  10          5230368   5230369   2287
 19      8  8  8  16  16  16         20912328  20912329   4573
 19      18  18  18  18  18  18      47045880  47045881   6859
 20      19  19  19  19  19  19      63999999  64000000   8000
 21      5  5  5  15  15  15         21446160  21446161   4631
 21      20  20  20  20  20  20      85766120  85766121   9261
 22      21  21  21  21  21  21     113379903 113379904  10648
 23      22  22  22  22  22  22     148035888 148035889  12167
 24      23  23  23  23  23  23     191102975 191102976  13824
 25      6  6  6  18  18  18         61042968  61042969   7813
 25      13  13  13  24  24  24     132249999 132250000  11500
 25      24  24  24  24  24  24     244140624 244140625  15625
 26      1  1  1  9  9  9            12362255  12362256   3516
 26      4  4  4  16  16  16         49434960  49434961   7031
 26      9  9  9  21  21  21        111218115 111218116  10546
 26      16  16  16  24  24  24     197711720 197711721  14061
 26      25  25  25  25  25  25     308915775 308915776  17576
 27      26  26  26  26  26  26     387420488 387420489  19683
 28      3  3  3  15  15  15         53553123  53553124   7318
 28      12  12  12  24  24  24     214183224 214183225  14635
 28      27  27  27  27  27  27     481890303 481890304  21952
 

More varied would be only those cases where X is not the same as Y:

 N        X X X Y Y Y              XXXYYY (dec.)      +1     sq root
 5      1  1  1  3  3  3                  3968        3969      63
 9      2  2  2  6  6  6                133224      133225     365
10      1  1  1  5  5  5                111555      111556     334
10      4  4  4  8  8  8                444888      444889     667
13      3  3  3  9  9  9               1207800     1207801    1099
16      5  5  5  8  8  8               5593224     5593225    2365
17      1  1  1  7  7  7               1510440     1510441    1229
17      4  4  4  12  12  12            6036848     6036849    2457
17      9  9  9  15  15  15           13579224    13579225    3685
19      2  2  2  10  10  10            5230368     5230369    2287
19      8  8  8  16  16  16           20912328    20912329    4573
21      5  5  5  15  15  15           21446160    21446161    4631
25      6  6  6  18  18  18           61042968    61042969    7813
25      13  13  13  24  24  24       132249999   132250000   11500
26      1  1  1  9  9  9              12362255    12362256    3516
26      4  4  4  16  16  16           49434960    49434961    7031
26      9  9  9  21  21  21          111218115   111218116   10546
26      16  16  16  24  24  24       197711720   197711721   14061
28      3  3  3  15  15  15           53553123    53553124    7318
28      12  12  12  24  24  24       214183224   214183225   14635
29      7  7  7  21  21  21          148718024   148718025   12195
32      1  1  1  31  31  31           34668543    34668544    5888
33      2  2  2  14  14  14           80730224    80730225    8985
33      8  8  8  24  24  24          322884960   322884961   17969
33      18  18  18  30  30  30       726464208   726464209   26953
37      1  1  1  11  11  11           71284248    71284249    8443
37      4  4  4  20  20  20          285103224   285103225   16885
37      9  9  9  27  27  27          641456928   641456929   25327
37      16  16  16  32  32  32      1140345360  1140345361   33769
37      25  25  25  35  35  35      1781768520  1781768521   42211
41      10  10  10  30  30  30      1187560520  1187560521   34461
45      11  11  11  33  33  33      2075986968  2075986969   45563
46      5  5  5  25  25  25         1052742915  1052742916   32446
46      20  20  20  40  40  40      4210841880  4210841881   64891
49      3  3  3  21  21  21          865124568   865124569   29413
49      12  12  12  36  36  36      3460380624  3460380625   58825
49      27  27  27  45  45  45      7785768168  7785768169   88237
50      1  1  1  13  13  13          318908163   318908164   17858
50      4  4  4  24  24  24         1275561224  1275561225   35715
50      9  9  9  33  33  33         2869959183  2869959184   53572
50      16  16  16  40  40  40      5102102040  5102102041   71429
50      25  25  25  45  45  45      7971989795  7971989796   89286
50      36  36  36  48  48  48     11479622448 11479622449  107143
51      2  2  2  18  18  18          703893960   703893961   26531
51      8  8  8  32  32  32         2815469720  2815469721   53061
51      18  18  18  42  42  42      6334727280  6334727281   79591
51      32  32  32  48  48  48     11261666640 11261666641  106121
53      13  13  13  39  39  39      5541164720  5541164721   74439

DEFDBL A-Z
CLS
FOR bse = 2 TO 53
  xPart = bse * bse * bse * (bse * bse + bse + 1)
  yPart = bse * bse + bse + 1
  FOR x = 1 TO bse - 1
   FOR y = 0 TO bse - 1
    IF y <> x THEN
      xxxyyy = x * xPart + y * yPart
      sq = xxxyyy + 1
      sr = INT(SQR(sq) + .5)
      IF sr * sr = sq THEN
       PRINT bse, x; x; x; y; y; y,
       PRINT USING "########### ########### #######"; xxxyyy; sq; sr
      END IF
    END IF
   NEXT
  NEXT
NEXT

 

 

Edited on April 26, 2009, 5:44 pm
  Posted by Charlie on 2009-04-26 17:42:04

Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (2)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information