All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Add 1, get a square II (Posted on 2009-04-26)
By adding 1 to the positive base N integer having the form XXXYYY with non leading zeroes, we get a perfect square- where X and Y are not necessarily distinct.

What are the value(s) of N, with 2 ≤ N ≤ 16, for which this is possible?

 See The Solution Submitted by K Sengupta No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 solution and computer exploration | Comment 1 of 2

The simple, D2 answer to the question, is all N. For any N, if X=Y=N-1, then XXXYYY will be N^6 - 1 and adding 1 will result in N^6, a perfect square.

Here's a computer printout (going beyond the asked-for N=16):
(each repetition of X or Y is represented in decimal for those digits larger than 9)

` N        X X X Y Y Y              XXXYYY (dec.)    +1     sq root 2       1  1  1  1  1  1                  63        64      8 3       2  2  2  2  2  2                 728       729     27 4       3  3  3  3  3  3                4095      4096     64 5       1  1  1  3  3  3                3968      3969     63 5       4  4  4  4  4  4               15624     15625    125 6       5  5  5  5  5  5               46655     46656    216 7       6  6  6  6  6  6              117648    117649    343 8       7  7  7  7  7  7              262143    262144    512 9       2  2  2  6  6  6              133224    133225    365 9       8  8  8  8  8  8              531440    531441    729 10      1  1  1  5  5  5              111555    111556    334 10      4  4  4  8  8  8              444888    444889    667 10      9  9  9  9  9  9              999999   1000000   1000 11      10  10  10  10  10  10       1771560   1771561   1331 12      11  11  11  11  11  11       2985983   2985984   1728 13      3  3  3  9  9  9             1207800   1207801   1099 13      12  12  12  12  12  12       4826808   4826809   2197 14      13  13  13  13  13  13       7529535   7529536   2744 15      14  14  14  14  14  14      11390624  11390625   3375 16      5  5  5  8  8  8             5593224   5593225   2365 16      15  15  15  15  15  15      16777215  16777216   4096 17      1  1  1  7  7  7             1510440   1510441   1229 17      4  4  4  12  12  12          6036848   6036849   2457 17      9  9  9  15  15  15         13579224  13579225   3685 17      16  16  16  16  16  16      24137568  24137569   4913 18      17  17  17  17  17  17      34012223  34012224   5832 19      2  2  2  10  10  10          5230368   5230369   2287 19      8  8  8  16  16  16         20912328  20912329   4573 19      18  18  18  18  18  18      47045880  47045881   6859 20      19  19  19  19  19  19      63999999  64000000   8000 21      5  5  5  15  15  15         21446160  21446161   4631 21      20  20  20  20  20  20      85766120  85766121   9261 22      21  21  21  21  21  21     113379903 113379904  10648 23      22  22  22  22  22  22     148035888 148035889  12167 24      23  23  23  23  23  23     191102975 191102976  13824 25      6  6  6  18  18  18         61042968  61042969   7813 25      13  13  13  24  24  24     132249999 132250000  11500 25      24  24  24  24  24  24     244140624 244140625  15625 26      1  1  1  9  9  9            12362255  12362256   3516 26      4  4  4  16  16  16         49434960  49434961   7031 26      9  9  9  21  21  21        111218115 111218116  10546 26      16  16  16  24  24  24     197711720 197711721  14061 26      25  25  25  25  25  25     308915775 308915776  17576 27      26  26  26  26  26  26     387420488 387420489  19683 28      3  3  3  15  15  15         53553123  53553124   7318 28      12  12  12  24  24  24     214183224 214183225  14635 28      27  27  27  27  27  27     481890303 481890304  21952 `

More varied would be only those cases where X is not the same as Y:

` N        X X X Y Y Y              XXXYYY (dec.)      +1     sq root 5      1  1  1  3  3  3                  3968        3969      63 9      2  2  2  6  6  6                133224      133225     36510      1  1  1  5  5  5                111555      111556     33410      4  4  4  8  8  8                444888      444889     66713      3  3  3  9  9  9               1207800     1207801    109916      5  5  5  8  8  8               5593224     5593225    236517      1  1  1  7  7  7               1510440     1510441    122917      4  4  4  12  12  12            6036848     6036849    245717      9  9  9  15  15  15           13579224    13579225    368519      2  2  2  10  10  10            5230368     5230369    228719      8  8  8  16  16  16           20912328    20912329    457321      5  5  5  15  15  15           21446160    21446161    463125      6  6  6  18  18  18           61042968    61042969    781325      13  13  13  24  24  24       132249999   132250000   1150026      1  1  1  9  9  9              12362255    12362256    351626      4  4  4  16  16  16           49434960    49434961    703126      9  9  9  21  21  21          111218115   111218116   1054626      16  16  16  24  24  24       197711720   197711721   1406128      3  3  3  15  15  15           53553123    53553124    731828      12  12  12  24  24  24       214183224   214183225   1463529      7  7  7  21  21  21          148718024   148718025   1219532      1  1  1  31  31  31           34668543    34668544    588833      2  2  2  14  14  14           80730224    80730225    898533      8  8  8  24  24  24          322884960   322884961   1796933      18  18  18  30  30  30       726464208   726464209   2695337      1  1  1  11  11  11           71284248    71284249    844337      4  4  4  20  20  20          285103224   285103225   1688537      9  9  9  27  27  27          641456928   641456929   2532737      16  16  16  32  32  32      1140345360  1140345361   3376937      25  25  25  35  35  35      1781768520  1781768521   4221141      10  10  10  30  30  30      1187560520  1187560521   3446145      11  11  11  33  33  33      2075986968  2075986969   4556346      5  5  5  25  25  25         1052742915  1052742916   3244646      20  20  20  40  40  40      4210841880  4210841881   6489149      3  3  3  21  21  21          865124568   865124569   2941349      12  12  12  36  36  36      3460380624  3460380625   5882549      27  27  27  45  45  45      7785768168  7785768169   8823750      1  1  1  13  13  13          318908163   318908164   1785850      4  4  4  24  24  24         1275561224  1275561225   3571550      9  9  9  33  33  33         2869959183  2869959184   5357250      16  16  16  40  40  40      5102102040  5102102041   7142950      25  25  25  45  45  45      7971989795  7971989796   8928650      36  36  36  48  48  48     11479622448 11479622449  10714351      2  2  2  18  18  18          703893960   703893961   2653151      8  8  8  32  32  32         2815469720  2815469721   5306151      18  18  18  42  42  42      6334727280  6334727281   7959151      32  32  32  48  48  48     11261666640 11261666641  10612153      13  13  13  39  39  39      5541164720  5541164721   74439`

DEFDBL A-Z
CLS
FOR bse = 2 TO 53
xPart = bse * bse * bse * (bse * bse + bse + 1)
yPart = bse * bse + bse + 1
FOR x = 1 TO bse - 1
FOR y = 0 TO bse - 1
IF y <> x THEN
xxxyyy = x * xPart + y * yPart
sq = xxxyyy + 1
sr = INT(SQR(sq) + .5)
IF sr * sr = sq THEN
PRINT bse, x; x; x; y; y; y,
PRINT USING "########### ########### #######"; xxxyyy; sq; sr
END IF
END IF
NEXT
NEXT
NEXT

Edited on April 26, 2009, 5:44 pm
 Posted by Charlie on 2009-04-26 17:42:04

 Search: Search body:
Forums (0)