All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Hypercells (Posted on 2009-02-02) Difficulty: 4 of 5
The network represents a map of the edges and vertices of a hypercube or more precisely, a tesseract when imposed within 2D space.

The orange squares represent the faces of the internal cell, a cube in 3D space, and is defined by vertices A to H. The larger bolder letters, I to P are the vertices of the outer cell/cube.

The diagonal lines are the edges which link the inner to the outer forming the faces that configure the cells which interface to the inner and outer cells.

Let each hypercell have a value which is the vertex sum of each of its enclosing faces (or three times the sum of its 8 vertices).
The vertices are to be numbered uniquely from 1 to 16, and for consistency of reference, let A always be 1.
Vertex values:
ABCD
EFGH
IJKL
MNOP
= 136
Cell 1: ABCDEFGH
Cell 2: IJKLMNOP
Cell 3: ADFGILMP
Cell 4: ABEFIJMN
Cell 5: ABCDIJKL
Cell 6: BCEHJKNO
Cell 7: CDGHKLOP
Cell 8: EFGHMNOP
Find sets of values for A through P so that all the cells have the same value.

Note: while the on-line calculator may be useful, a spreadsheet should prove more valuable for those able to use one.

See The Solution Submitted by brianjn    
Rating: 4.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution computer solution | Comment 7 of 10 |

The fact that the total of the vertices of each cell is 68 enables pruning the tree before all permutations of 1 - 16 are tried.

Dim used(16)

Private Sub Form_Load()
Me.Visible = True

Open "hypercell.txt" For Output As #2

txtOut.Text = "  b  c  d  e  f  g  h  i  j  k  l  m  n  o  p"
Print #2, txtOut.Text

a = 1
For b = 2 To 13
 used(b) = 1
For c = b + 1 To 14
 If used(c) = 0 Then
  used(c) = 1
For i = c + 1 To 15
 If used(i) = 0 Then
  used(i) = 1
  CurrentX = 1: CurrentY = 1
  Print b; c; i; "     "; ct; "    "
For f = i + 1 To 16
 If used(f) = 0 Then
  used(f) = 1
For e = 2 To 16
 If used(e) = 0 Then
  used(e) = 1
ae = a + b + c + f + e
If ae <= 59 Then
For d = 2 To 16
 If used(d) = 0 Then
  used(d) = 1
af = ae + d
If af <= 63 Then
For g = 2 To 16
 If used(g) = 0 Then
  used(g) = 1
ag = af + g
If ag <= 66 Then
For h = 2 To 16
 If used(h) = 0 Then
  used(h) = 1
If a + b + c + d + e + f + g + h = 68 Then  ' C 1
DoEvents

abefi = a + b + e + f + i
If abefi <= 59 Then
 For j = 2 To 16
  If used(j) = 0 Then
    used(j) = 1
abefij = abefi + j
If abefij <= 63 Then
 For m = 2 To 16
  If used(m) = 0 Then
    used(m) = 1
abefijm = abefij + m
If abefijm <= 66 Then
 For n = 2 To 16
  If used(n) = 0 Then
    used(n) = 1
abefijmn = abefijm + n
If abefijmn = 68 Then                       ' C 4

abcdij = a + b + c + d + i + j
kl = 68 - abcdij                             ' C 5
For k = 1 To 16
 If used(k) = 0 Then
  used(k) = 1
  l = kl - k
If l <= 16 And l > 1 Then
  If used(l) = 0 Then
   used(l) = 1
  
p = 68 - a - d - f - g - i - l - m           ' C 3
If p <= 16 And p > 1 Then
If used(p) = 0 Then
 used(p) = 1
o = 68 - b - c - e - h - j - k - n           ' C 6
If o <= 16 And o > 1 Then
If used(o) = 0 Then
 used(o) = 1
 
If i + j + k + l + m + n + o + p = 68 Then
If c + d + g + h + k + l + o + p = 68 Then
If e + f + g + h + m + n + o + p = 68 Then
 textOut = ""
 textOut = textOut + Right("   " + Format(b, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(c, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(d, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(e, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(f, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(g, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(h, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(i, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(j, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(k, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(l, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(m, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(n, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(o, " ##"), 3)
 textOut = textOut + Right("   " + Format(p, " ##"), 3)
 Print #2, textOut
 txtOut.Text = txtOut.Text & Chr$(13) & Chr$(10) & textOut
 ct = ct + 1
End If
End If
End If
 
 used(o) = 0
End If
End If   ' o <=16
 used(p) = 0
End If
End If    ' p <= 16
  
   used(l) = 0
  End If   'unused l
End If  ' l <=16
  used(k) = 0
 End If
Next k
 
End If 'mabefijmn = 68
    used(n) = 0
  End If
 Next n
End If 'mabefijm <= 66
    used(m) = 0
  End If
 Next m
End If 'abefij <= 63
    used(j) = 0
  End If
 Next j
End If ' abefi <= 59

End If ' a thru h = 68
  used(h) = 0
 End If
Next h
End If  'ag<=52
  used(g) = 0
 End If
Next g
End If  ' af<=37
  used(d) = 0
 End If
Next d
End If ' ae <=59
  used(e) = 0
 End If
Next e
  used(f) = 0
 End If
Next f
  used(i) = 0
 End If
Next i
  used(c) = 0
 End If
Next c
 used(b) = 0
Next b
Print ct
Close 2

End Sub

This program finds 162,276 solutions.

The program assumes that A is 1 and that B < C < I < F, so as to find only one out of any rotations and reflections.

Reflections turn this into 324,552.

You might want to multiply that by 12 for rotations; then you can also multiply by 16 if you allow for A to be other than 1. But I think those are overkill; there are really only 324,552 that are fundamentally different in 3-space or 162,276 solutions that are fundamentally different mathematically or topologically. This still seems like a lot of solutions, but consider that the number of overall ways of arranging the numbers 1 - 16 that are topologically different is 16!/(6*16) = 217,945,728,000.

Looked at another way, the rotations and reflections had been eliminated by requiring B < C < I < F, only 1/24 of the possibilities.

A random sampling of the 162,276 solutions is shown below. Each solution was given a 1/1000 probability of being shown (if rnd(1) < 1/1000). As it turns out, 165 were selected.

In all solutions, a = 1.

  b  c  d  e  f  g  h  i  j  k  l  m  n  o  p
  2  4 14 16 12  9 10 11 15  8 13  5  6  7  3
  2  7 16 13 15  4 10 11 14  5 12  3  9  8  6
  2  7 14 15 16  4  9 11 12  8 13  6  5 10  3
  2  7 16 11 14  5 12 13 15  4 10  3  9  8  6
  2  8 14 13 16  5  9 10 12  6 15  3 11  7  4
  2  8 15 16 13  3 10 12 14  5 11  4  6  7  9
  2  8 11  7 16 14  9 12 15 13  6  5 10  4  3
  2  9 16  7 15  6 12 14 10 13  3  8 11  4  5
  2 10 13 15 12  8  7 11  9 16  6 14  4  5  3
  2 10 12  8 16  5 14 13 15  4 11  7  6  9  3
  2 12 10  8 16  4 15 13 14  9  7 11  3  5  6
  2 12 11  7 16 13  6 15 14  9  4  3 10  8  5
  2 13  9 10 16 12  5 14 11 15  3  6  8  4  7
  2 14  5 13 16 10  7 15 11 12  8  4  6  3  9
  3  4 14 15 12  6 13  9 16 10 11  7  5  2  8
  3  4 14 11 16  6 13  9 15 10 12  8  5  7  2
  3  5 15 13 12 11  8 10 16 14  4  6  7  2  9
  3  6 14 15 12  4 13  9 16  8 11 10  2  5  7
  3  6 16 14 12  9  7 10 11  8 13  2 15  4  5
  3  6 13  8 14  7 16 10 15 11  9 12  5  4  2
  3  6 15  9 14  4 16 12 11 13  7 10  8  2  5
  3  7 12 16 15  5  9 13 10  8 14  6  4 11  2
  3  7 13 11 16  8  9 15 14 10  5  6  2 12  4
  3  8 14 13 15  2 12 10 16  7  9  6  4  5 11
  3  8 12 14 15  5 10 11 16  4 13  2  6  7  9
  3  8 12 11 16  2 15 14 10  7 13  4  9  5  6
  3  9 16  8 15  2 14 10 13  4 12  7 11  6  5
  3  9 12 14 16  6  7 15  4 13 11  5 10  8  2
  3 11 15 12 16  2  8 14  5 13  6 10  7  9  4
  3 12 10  4 14  9 15 13 16  5  8 11  6  7  2
  3 12  6  8 16  7 15 13 14 10  9 11  2  4  5
  3 14 13 10 16  7  4 15  5  9  8  6 12 11  2
  4  5 10 14 15 12  7  8 11 16 13  6  9  2  3
  4  5 10  8 15 14 11 12 16 13  7  3  9  2  6
  4  5 12 14 15  8  9 13 11 16  6  3  7  2 10
  4  5  8 16 15 10  9 13 14 12 11  3  2  6  7
  4  5  8 10 16 11 13 15 14  9 12  2  6  7  3
  4  6 16 15 11 10  5  7  8 14 12  9 13  3  2
  4  6 15 12  9 10 11  8 13 14  7 16  5  3  2
  4  6  7 10 15 12 13  9 16 11 14  8  5  3  2
  4  6 14 15 12  3 13 10  8  9 16  7 11  2  5
  4  6  8 12 14 16  7 10 13 15 11  5  9  2  3
  4  7 15 11 13 12  5  9 16 14  2  6  8  3 10
  4  7 15 16 13  3  9 10 11 14  6  8  5  2 12
  4  7 14 15 16  9  2 11 10 13  8  6  5 12  3
  4  7  9 13 15  3 16 14 10 11 12  6  5  2  8
  4  7 10 13 16 11  6 15 14  9  8  2  3 12  5
  4  8 14 16 13 10  2  9 15 11  6  3  7  5 12
  4  8 13 14 12 11  5 10  9  7 16  3 15  6  2
  4  8 10 12 16  2 15 13  7 11 14  9  6  5  3
  4  8 11  9 16  6 13 15 14 10  5  2  7  3 12
  4  9 16  7 15  2 14 12 13 10  3 11  5  6  8
  4  9 15 11 16  2 10 12  6  7 14  5 13  8  3
  4 10 15  5 14  8 11 12 13  7  6  3 16  2  9
  4 10 16 14 15  5  3 12  6 11  8  9  7 13  2
  4 10  7 15 14  9  8 13 12  5 16  6  3 11  2
  4 10 13 16 15  2  7 14  3 11 12  6  9  8  5
  4 11 10  9 14 16  3 12 13 15  2  8  7  6  5
  4 11 14 16 15  2  5 12  9  7 10  8  3 13  6
  4 12  7  8 15 16  5 13 14  6 11  3 10  9  2
  4 12  5  8 15 13 10 14  9 16  7 11  6  3  2
  4 13 10  9 15 11  5 14 16  8  2  3  6  7 12
  4 14  7  5 16  9 12 15  6 11 10  8 13  3  2
  5  6 14 10 16  3 13  7  9 15 11 12  8  2  4
  5  6 16  7 13 12  8 11 15 10  4  2 14  3  9
  5  7  6 15 12 13  9  8 14 11 16 10  3  4  2
  5  7 13 14 16  2 10  9 12  6 15  8  3 11  4
  5  7 10  8 13  9 15 12 11  6 16  4 14  2  3
  5  7 15 11 16 10  3 14  8 12  6  4  9 13  2
  5  8  4 13 14 11 12 10 16  9 15  7  2  3  6
  5  8 15  7 14 12  6 11 16  9  3 10  4 13  2
  5  8 12 10 15  3 14 11  6 16  9 13  7  2  4
  5  8 12 10 16  7  9 13  3 15 11  6 14  4  2
  5  8 12 13 16  4  9 14 10 15  3  7  2  6 11
  5  9 16  7 14  4 12 11 15  8  3 13  2 10  6
  5  9  8 11 15  3 16 13  6 12 14 10  7  2  4
  5  9 11  7 15  4 16 14 10  6 12  3 13  2  8
  5 10 14  3 12  8 15 11 16  2  9  7 13  4  6
  5 10  8 11 15  4 14 12 16  3 13  6  2  7  9
  5 12  7  8 15 11  9 13 10  4 16  2 14  6  3
  5 12  7  3 16 14 10 15 11  8  9  4 13  6  2
  5 13 11  6 16  9  7 14  8  4 12  3 15 10  2
  5 13  9 15 16  7  2 14  3 12 11  4 10  8  6
  6  7  5 13 12 15  9  8 16 11 14 10  2  4  3
  6  7 13  4 16 12  9 10 15  5 11  2 14  8  3
  6  7 14 15 13 10  2 12  9 16  3  4  8  5 11
  6  7  8 15 16  4 11 13 10 14  9  5  2  3 12
  6  7 15 10 16  2 11 14 13  4  8  3  5 12  9
  6  8 13 16 10 11  3  9 14  2 15  5  7 12  4
  6  8 10 16 11 14  2  9  7 12 15  5 13  4  3
  6  8 10 13 14  5 11  9 16  3 15  2  7  4 12
  6  8 13  4 15 14  7 11 10 16  3  9 12  5  2
  6  8 12 14 16  2  9 11 10  5 15  7  3 13  4
  6  8 11  7 16 14  5 12 13 15  2  9  4 10  3
  6  9 13  5 12 14  8 10 16  2 11  3 15  7  4
  6  9 15  7 14  5 11 10 16  3  8  2 12  4 13
  6  9 16  4 14  5 13 11 15  2  8 10  7 12  3
  6  9 16 13 14  2  7 11 10  3 12  8  5 15  4
  6  9  7 11 16 10  8 12 15 14  4  5  2  3 13
  6 10 13  7 12  4 15 11  9  2 16  8 14  5  3
  6 10 13 14 15  4  5 11  2 16  9 12  7  8  3
  6 10 15  4 14  2 16 12  7  9  8 13 11  5  3
  6 10  2  9 15 14 11 12 16  8 13  4  5  3  7
  6 11  5 14 13 16  2 12 15 10  8  4  3  7  9
  6 11  8 12 16  9  5 13 15 10  4  3  2  7 14
  6 13  5  9 16  7 11 15 14  2 12  4  3 10  8
  6 13 12 10 16  8  2 15 11  7  3  4  5 14  9
  6 14  2  8 16  9 12 15 13  7 10  4  5  3 11
  7  8 14 12 16  6  4  9 11 13  5  2 10  3 15
  7  8  5 14 16  6 11 10 13  9 15  3  4  2 12
  7  8 10 16 14  9  3 11  4 12 15  2 13  5  6
  7  8 16 15 14  5  2 13  9 10  4  3  6 11 12
  7  8 11  4 16  6 15 14 13  2 12  3 10  9  5
  7  9 15  5 12 11  8 10  6 16  4 13 14  3  2
  7  9 14  5 16 13  3 10 12 11  4  2 15  6  8
  7  9  5 16 12  8 10 11 15  6 14  4  2  3 13
  7  9 16 12 13  2  8 11 15  4  5  6  3 10 14
  7  9 16 14 15  2  4 11  3 13  8  5 12  6 10
  7  9  5  3 14 16 13 12 15 11  8 10  6  4  2
  7 10  8 14 12 13  3 11 16  9  6  2  5  4 15
  7 10  8 14 13  6  9 11  3 16 12 15  4  5  2
  7 10 13  5 16  4 12 11  8  3 15  6 14  9  2
  7 10 16  9 14  3  8 12  4 13  5 15  6 11  2
  7 10 16 15 14  3  2 12  4 13  5  9  6 11  8
  7 10  5  6 15 16  8 12 11  9 13  2 14  3  4
  7 10 12  3 14 16  5 13 15  8  2  4 11  9  6
  7 10  3  4 16 12 15 14 13  9 11  5  8  2  6
  7 11  6  2 16 13 12 14 15 10  4  5  8  3  9
  7 12  4 10 16 13  5 14  9  6 15  3  8 11  2
  7 12  9  8 16 13  2 15 11 10  3  6  4 14  5
  7 13 12  9 15  8  3 14  4  6 11  2 16 10  5
  8  9  6 13 12 15  4 10 16 11  7  3  5  2 14
  8  9 16 11 14  5  4 12 13  7  2  3  6 10 15
  8  9 13 16 15  4  2 12  6 14  5  7  3 10 11
  8  9  2  5 16 15 12 14 11 13 10  6  7  3  4
  8 10  3 12 15 13  6 11  5 16 14  9  7  4  2
  8 10  9  4 16  6 14 11 12  2 15  3 13  5  7
  8 10  6 16 15  3  9 12  4 14 13  7  5  2 11
  8 10  9 13 16  5  6 12 11  2 15  3  4 14  7
  8 10  6 12 15  5 11 14 13  7  9  2  3  4 16
  8 11  4  7 16 15  6 13 12  5 14  2  9 10  3
  8 11  6  7 16  5 14 15 10 13  4  9  2  3 12
  8 12 15 11 16  2  3 14  5  9  4  6  7 13 10
  8 12  9  5 16 14  3 15 10  6  7  2 11 13  4
  8 13 11  5 16 12  2 15 10  7  3  4  9 14  6
  9 10 14  5 15  8  6 13  7 11  3  2 16  4 12
  9 11 13  5 15  6  8 12  2 16  4 14 10  7  3
  9 11 15  7 16  5  4 14 10  6  2  3  8 13 12
  9 12  4  2 16 13 11 15  7 14  6 10  8  5  3
  9 12  7  6 16  4 13 15  5 11  8 14  2 10  3
  9 13  8  6 16  5 10 15  3 12  7 14  4 11  2
  9 13  5  7 16 11  6 15  8  3 14  2 10 12  4
  9 14  2 10 16  5 11 15  7  8 12  4  6  3 13
 10 11  9  7 16  8  6 14  3 15  5 13  4 12  2
 10 12  4  7 15  8 11 13 14  5  9  2  6  3 16
 10 12 15  5 16  2  7 13  8  6  3  4 11  9 14
 10 12 13  3 16  7  6 14  5  9  4 11  8 15  2
 10 13  6 11 16  9  2 14  8  4 12  3  5 15  7
 10 13  8  5 16 11  4 15 12  3  6  2  7 14  9
 10 14  5  2 16  7 13 15  8  6  9  4 12  3 11
 11 12  4  9 15  6 10 14  2 16  8 13  3  5  7
 11 13  3  5 16 10  9 14  7 15  4  8  6  2 12
 11 13  6  7 16  2 12 15  9  3 10  4  5  8 14
 12 13  8  3 16  9  6 14  2  7 11  5 15 10  4
 13 14  2  4 16 11  7 15  6  5 12  3 10  9  8

  Posted by Charlie on 2009-02-03 11:49:52
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (6)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information