All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Rocking digits (Posted on 2013-02-08) Difficulty: 3 of 5
Identify the last two digits of the given number:

98765432

No Solution Yet Submitted by Danish Ahmed Khan    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Solution solution | Comment 2 of 3 |

Since we're concerned with the last two digits, we'll use mod-100 arithmetic.

Here's a table of powers of integers from 9 down to 2, mod 100:

power \ base number
 1       9       8       7       6       5       4       3       2
 2       81      64      49      36      25      16      9       4
 3       29      12      43      16      25      64      27      8
 4       61      96      1       96      25      56      81      16
 5       49      68      7       76      25      24      43      32
 6       41      44      49      56      25      96      29      64
 7       69      52      43      36      25      84      87      28
 8       21      16      1       16      25      36      61      56
 9       89      28      7       96      25      44      83      12
 10      1       24      49      76      25      76      49      24
 11      9       92      43      56      25      4       47      48
 12      81      36      1       36      25      16      41      96
 13      29      88      7       16      25      64      23      92
 14      61      4       49      96      25      56      69      84
 15      49      32      43      76      25      24      7       68
 16      41      56      1       56      25      96      21      36
 17      69      48      7       36      25      84      63      72
 18      21      84      49      16      25      36      89      44
 19      89      72      43      96      25      44      67      88
 20      1       76      1       76      25      76      1       76
 21      9       8       7       56      25      4       3       52
 22      81      64      49      36      25      16      9       4
 23      29      12      43      16      25      64      27      8
 24      61      96      1       96      25      56      81      16
 25      49      68      7       76      25      24      43      32
 26      41      44      49      56      25      96      29      64
 27      69      52      43      36      25      84      87      28
 28      21      16      1       16      25      36      61      56
 29      89      28      7       96      25      44      83      12
 30      1       24      49      76      25      76      49      24
 31      9       92      43      56      25      4       47      48
 32      81      36      1       36      25      16      41      96
 33      29      88      7       16      25      64      23      92
 34      61      4       49      96      25      56      69      84
 35      49      32      43      76      25      24      7       68
 36      41      56      1       56      25      96      21      36
 37      69      48      7       36      25      84      63      72
 38      21      84      49      16      25      36      89      44
 39      89      72      43      96      25      44      67      88
 40      1       76      1       76      25      76      1       76
 41      9       8       7       56      25      4       3       52
 42      81      64      49      36      25      16      9       4
 43      29      12      43      16      25      64      27      8
 44      61      96      1       96      25      56      81      16

 
Clearly the 4^(3^2) doesn't matter as a power of 5: all powers of 5 higher than 1 end in 25, and we can ignore the last three columns.
 
6^25=76 mod 100
 
Powers of 7 are in a cycle of 4 and 76 is divisible by 4, so 7 raised to its power ends in 01.
 
8 has a cycle of 20 and every power of 8 where the exponent is 1 mod 20 ends in 08.
 
9^08 = 21 mod 100
 
Thus 21 is the answer.
 
By the way,
 
 10   N=2
 20   for B=3 to 9
 30     N=modpow(B,N,10^100)
 40   next
 50   print N
 
finds that the last 100 digits of the number are

3566949280962919105723762106797763143495565517047216793598832637327585156823502301057525148779806721


  Posted by Charlie on 2013-02-08 17:10:54
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (4)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information