The squares of an infinite chessboard are numbered successively as follows: in the lower left corner (first row, first column) we put 0 (zero), and then in every other square we put the smallest nonnegative integer that does not appear to its left in the same row or below it in the same column. See it partially filled:

            |   |   |   |   |   |   |   |   |
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 5 |   |   |   |   |   |   |   |
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 4 | 5 |   |   |   |   |   |   |
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 3 | 2 | 1 |   |   |   |   |   |
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 2 | 3 | 0 | 1 |   |   |   |   | 
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 1 | 0 | 3 | 2 | 5 |   |   |   |
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--
            | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |   |   | 
            +---+---+---+---+---+---+---+---+--

Find the law that rules the numbers that fills the chessboard, so that in seconds, you can evaluate the number that is, for example, in the intersection of the 1000th row and the 100th column.

(In reply to neat by Josh70679)

Computed upside down, for easier checking against previous numbers in the column, the pattern is easy to see:

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26
 4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29
 5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28
 6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31
 7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30
 8  9 10 11 12 13 14 15  0  1  2  3  4  5  6  7 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17
 9  8 11 10 13 12 15 14  1  0  3  2  5  4  7  6 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16
10 11  8  9 14 15 12 13  2  3  0  1  6  7  4  5 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19
11 10  9  8 15 14 13 12  3  2  1  0  7  6  5  4 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18
12 13 14 15  8  9 10 11  4  5  6  7  0  1  2  3 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21
13 12 15 14  9  8 11 10  5  4  7  6  1  0  3  2 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20
14 15 12 13 10 11  8  9  6  7  4  5  2  3  0  1 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23
15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
17 16 19 18 21 20 23 22 25 24 27 26 29 28 31 30  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8
18 19 16 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 31 28 29  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11
19 18 17 16 23 22 21 20 27 26 25 24 31 30 29 28  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10
20 21 22 23 16 17 18 19 28 29 30 31 24 25 26 27  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13
21 20 23 22 17 16 19 18 29 28 31 30 25 24 27 26  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12
22 23 20 21 18 19 16 17 30 31 28 29 26 27 24 25  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15
23 22 21 20 19 18 17 16 31 30 29 28 27 26 25 24  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14
24 25 26 27 28 29 30 31 16 17 18 19 20 21 22 23  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1
25 24 27 26 29 28 31 30 17 16 19 18 21 20 23 22  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0
26 27 24 25 30 31 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3
27 26 25 24 31 30 29 28 19 18 17 16 23 22 21 20 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2
28 29 30 31 24 25 26 27 20 21 22 23 16 17 18 19 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5
29 28 31 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 16 19 18 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4
30 31 28 29 26 27 24 25 22 23 20 21 18 19 16 17 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
33 32 35 34 37 36 39 38 41 40 43 42 45 44 47 46 49 48 51 50 53 52 55 54 57 56
34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 47 44 45 50 51 48 49 54 55 52 53 58 59
35 34 33 32 39 38 37 36 43 42 41 40 47 46 45 44 51 50 49 48 55 54 53 52 59 58
36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 47 40 41 42 43 52 53 54 55 48 49 50 51 60 61
37 36 39 38 33 32 35 34 45 44 47 46 41 40 43 42 53 52 55 54 49 48 51 50 61 60

The grouping by 8's and 16's (and by 4's and 2's) hints at the binary nature of the puzzle.

To test the XOR hypothesis (as expounded in Josh's "the trick" comment, without mentioning the term XOR), the following table repeats the above, but also shows, below each entry, the XOR of the column number and row number, when these are treated as starting with zero rather than one.

  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24
  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24

  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27
  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27

  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26
  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26

  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29
  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29

  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28
  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28

  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31
  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31

  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30
  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30

  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1  2  3  4  5  6  7 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17
  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1  2  3  4  5  6  7 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17

  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0  3  2  5  4  7  6 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16
  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0  3  2  5  4  7  6 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16

 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3  0  1  6  7  4  5 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19
 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3  0  1  6  7  4  5 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19

 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2  1  0  7  6  5  4 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18
 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2  1  0  7  6  5  4 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18

 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5  6  7  0  1  2  3 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21
 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5  6  7  0  1  2  3 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21

 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4  7  6  1  0  3  2 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20
 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4  7  6  1  0  3  2 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20

 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7  4  5  2  3  0  1 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23
 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7  4  5  2  3  0  1 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23

 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22
 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22

 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24 27 26 29 28 31 30  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8
 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24 27 26 29 28 31 30  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8

 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 31 28 29  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11
 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 31 28 29  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11

 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26 25 24 31 30 29 28  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10
 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26 25 24 31 30 29 28  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10

 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29 30 31 24 25 26 27  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13
 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29 30 31 24 25 26 27  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13

 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28 31 30 25 24 27 26  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12
 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28 31 30 25 24 27 26  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12

 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31 28 29 26 27 24 25  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15
 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31 28 29 26 27 24 25  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15

 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30 29 28 27 26 25 24  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14
 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30 29 28 27 26 25 24  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14

 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17 18 19 20 21 22 23  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1
 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17 18 19 20 21 22 23  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1

 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16 19 18 21 20 23 22  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0
 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16 19 18 21 20 23 22  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0

 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3
 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3

 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18 17 16 23 22 21 20 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2
 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18 17 16 23 22 21 20 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2

 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21 22 23 16 17 18 19 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5
 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21 22 23 16 17 18 19 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5

 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 16 19 18 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4
 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 16 19 18 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4

 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23 20 21 18 19 16 17 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7
 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23 20 21 18 19 16 17 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7

 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6
 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6

 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

 33 32 35 34 37 36 39 38 41 40 43 42 45 44 47 46 49 48 51 50 53 52 55 54 57 56
 33 32 35 34 37 36 39 38 41 40 43 42 45 44 47 46 49 48 51 50 53 52 55 54 57 56

 34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 47 44 45 50 51 48 49 54 55 52 53 58 59
 34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 47 44 45 50 51 48 49 54 55 52 53 58 59

 35 34 33 32 39 38 37 36 43 42 41 40 47 46 45 44 51 50 49 48 55 54 53 52 59 58
 35 34 33 32 39 38 37 36 43 42 41 40 47 46 45 44 51 50 49 48 55 54 53 52 59 58

 36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 47 40 41 42 43 52 53 54 55 48 49 50 51 60 61
 36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 47 40 41 42 43 52 53 54 55 48 49 50 51 60 61

 37 36 39 38 33 32 35 34 45 44 47 46 41 40 43 42 53 52 55 54 49 48 51 50 61 60
 37 36 39 38 33 32 35 34 45 44 47 46 41 40 43 42 53 52 55 54 49 48 51 50 61 60

The numbers match up.  The XOR (half-adder) matches the number arrived at using the puzzle algorithm.

Posted by Charlie on 2005-10-28 14:44:51