A step function f(x) is defined on the interval [0, 1)

From [0, 2/3), the step is 4/5 high.

From [2/3, 8/9), the step is 24/25 high.

From [8/9, 26/27), the step is 124/125 high.

From [1 - 3^-k, 1 - 3^-(k+1)), the step is 1 - 5^-(k+1) high.

What is the exact area under the step function?

    5   point 7
   10   for K=0 to 75
   20    Wdth=3.0^(-K)-3.0^(-(K+1))
   30    Hgt=1-5.0^(-(K+1))
   40    Area=Wdth*Hgt
   50    Tot=Tot+Area
   60    print Area,Tot
   70   next

finds
   
 0.533333333333333333333333333333333     0.533333333333333333333333333333333
 0.213333333333333333333333333333333     0.746666666666666666666666666666666
 0.073481481481481481481481481481481     0.820148148148148148148148148148147
 0.024651851851851851851851851851851     0.8448
 0.008227818930041152263374485596707     0.853027818930041152263374485596707
 0.002743308641975308641975308641975     0.855771127572016460905349794238682
 0.000914483036122542295381801554641     0.856685610608139003200731595793323
 0.000304830800182898948331047096479     0.856990441408321902149062642889802
 0.000101610474825991972768378804044     0.857092051883147894121831021693847
 0.000033870172148554590255550475028     0.857125922055296448712086572168876
 0.000011290058307733125596256216588     0.857137212113604181837682828385464
 0.00000376335283090314823282358719      0.857140975466435084985915651972654
 0.000001254450947744967613212630063     0.857142229917382829953528864602717
 0.000000418150316189028195666750087     0.857142648067699018981724531352805
 0.000000139383438747945331306419366     0.857142787451137766927055837772171
 0.000000046461146250533061507751078     0.85714283391228401746011734552325
 0.000000015487048750258883907402222     0.857142849399332767719001252925473
 0.000000005162349583425041085010865     0.857142854561682351144042337936338
 0.000000001720783194475374569395407     0.857142856282465545619416907331746
 0.000000000573594398158482248091254     0.857142856856059943777899155423
 0.00000000019119813271949568658327      0.857142857047258076497394842006271
 0.000000000063732710906498669120169     0.85714285711099078740389351112644
 0.000000000021244236968832896835106     0.857142857132235024372726407961546
 0.00000000000708141232294429942026      0.857142857139316436695670707381807
 0.000000000002360470774314766505101     0.857142857141676907469985473886909
 0.000000000000786823591438255503812     0.857142857142463731061423729390721
 0.000000000000262274530479418501411     0.857142857142726005591903147892133
 0.000000000000087424843493139500479     0.857142857142813430435396287392613
 0.000000000000029141614497713166827     0.85714285714284257204989400055944
 0.000000000000009713871499237722275     0.857142857142852285921393238281716
 0.000000000000003237957166412574091     0.857142857142855523878559650855808
 0.00000000000000107931905547085803      0.857142857142856603197615121713838
 0.00000000000000035977301849028601      0.857142857142856962970633611999848
 0.000000000000000119924339496762003     0.857142857142857082894973108761851
 0.000000000000000039974779832254        0.857142857142857122869752941015852
 0.000000000000000013324926610751333     0.857142857142857136194679551767186
 0.000000000000000004441642203583777     0.857142857142857140636321755350963
 0.000000000000000001480547401194592     0.857142857142857142116869156545556
 0.000000000000000000493515800398197     0.857142857142857142610384956943753
 0.000000000000000000164505266799398     0.857142857142857142774890223743152
 0.000000000000000000054835088933132     0.857142857142857142829725312676285
 0.00000000000000000001827836297771      0.857142857142857142848003675653996
 0.000000000000000000006092787659236     0.857142857142857142854096463313233
 0.000000000000000000002030929219745     0.857142857142857142856127392532978
 0.000000000000000000000676976406581     0.85714285714285714285680436893956
 0.000000000000000000000225658802193     0.857142857142857142857030027741754
 0.000000000000000000000075219600731     0.857142857142857142857105247342485
 0.000000000000000000000025073200243     0.857142857142857142857130320542728
 0.000000000000000000000008357733414     0.857142857142857142857138678276143
 0.000000000000000000000002785911138     0.857142857142857142857141464187281
 0.000000000000000000000000928637046     0.857142857142857142857142392824327
 0.000000000000000000000000309545681     0.857142857142857142857142702370009
 0.000000000000000000000000103181894     0.857142857142857142857142805551903
 0.000000000000000000000000034393964     0.857142857142857142857142839945868
 0.000000000000000000000000011464654     0.857142857142857142857142851410523
 0.000000000000000000000000003821551     0.857142857142857142857142855232074
 0.00000000000000000000000000127385      0.857142857142857142857142856505925
 0.000000000000000000000000000424616     0.857142857142857142857142856930542
 0.000000000000000000000000000141539     0.857142857142857142857142857072081
 0.000000000000000000000000000047179     0.85714285714285714285714285711926
 0.000000000000000000000000000015726     0.857142857142857142857142857134987
 0.000000000000000000000000000005242     0.857142857142857142857142857140229
 0.000000000000000000000000000001747     0.857142857142857142857142857141977
 0.000000000000000000000000000000582     0.857142857142857142857142857142559
 0.000000000000000000000000000000194     0.857142857142857142857142857142753
 0.000000000000000000000000000000064     0.857142857142857142857142857142818
 0.000000000000000000000000000000021     0.85714285714285714285714285714284
 0.000000000000000000000000000000007     0.857142857142857142857142857142847
 0.000000000000000000000000000000002     0.857142857142857142857142857142849
 0.0     0.85714285714285714285714285714285
 0.0     0.85714285714285714285714285714285
 0       0.85714285714285714285714285714285
 0       0.85714285714285714285714285714285
 0       0.85714285714285714285714285714285
 0       0.85714285714285714285714285714285
 0       0.85714285714285714285714285714285 
 

then, manually, as the decimal obviously repeats,

? 8//10 + 571428//9999990
 6//7
 
so the answer is 6/7.

Posted by Charlie on 2011-08-07 12:50:30