Find the smallest base ten positive integer with period 12.
Note: The period of an integer is the length of the repeating pattern of reciprocal. For example, repeating pattern of the reciprocal of 7 is 1/7 = 0.142857142857..... having a length of 6. So the period of 7 is 6.
(In reply to
re: This may be right (Why it isn't.) by Jer)
"It is mysterious (to me anyway) that the product of 101 [period 4] and 7 [period 6] should have period 12."
The below table shows the periods for N up to 500. A random sampling shows the period for a product is the LCM of the two multiplicands.
In the table, the "reduced N" is N with all the factors of 2 and 5 removed so that the periodic cycles are the same length but start immediately after the decimal point, including 7 and 101 with periods of 6 and 4 producing LCM(6,4)=12.
reduced
N N period
1 1 1
2 1 1
3 3 1
4 1 1
5 1 1
6 3 1
7 7 6
8 1 1
9 9 1
10 1 1
11 11 2
12 3 1
13 13 6
14 7 6
15 3 1
16 1 1
17 17 16
18 9 1
19 19 18
20 1 1
21 21 6
22 11 2
23 23 22
24 3 1
25 1 1
26 13 6
27 27 3
28 7 6
29 29 28
30 3 1
31 31 15
32 1 1
33 33 2
34 17 16
35 7 6
36 9 1
37 37 3
38 19 18
39 39 6
40 1 1
41 41 5
42 21 6
43 43 21
44 11 2
45 9 1
46 23 22
47 47 46
48 3 1
49 49 42
50 1 1
51 51 16
52 13 6
53 53 13
54 27 3
55 11 2
56 7 6
57 57 18
58 29 28
59 59 58
60 3 1
61 61 60
62 31 15
63 63 6
64 1 1
65 13 6
66 33 2
67 67 33
68 17 16
69 69 22
70 7 6
71 71 35
72 9 1
73 73 8
74 37 3
75 3 1
76 19 18
77 77 6
78 39 6
79 79 13
80 1 1
81 81 9
82 41 5
83 83 41
84 21 6
85 17 16
86 43 21
87 87 28
88 11 2
89 89 44
90 9 1
91 91 6
92 23 22
93 93 15
94 47 46
95 19 18
96 3 1
97 97 96
98 49 42
99 99 2
100 1 1
101 101 4
102 51 16
103 103 34
104 13 6
105 21 6
106 53 13
107 107 53
108 27 3
109 109 108
110 11 2
111 111 3
112 7 6
113 113 112
114 57 18
115 23 22
116 29 28
117 117 6
118 59 58
119 119 48
120 3 1
121 121 22
122 61 60
123 123 5
124 31 15
125 1 1
126 63 6
127 127 42
128 1 1
129 129 21
130 13 6
131 131 130
132 33 2
133 133 18
134 67 33
135 27 3
136 17 16
137 137 8
138 69 22
139 139 46
140 7 6
141 141 46
142 71 35
143 143 6
144 9 1
145 29 28
146 73 8
147 147 42
148 37 3
149 149 148
150 3 1
151 151 75
152 19 18
153 153 16
154 77 6
155 31 15
156 39 6
157 157 78
158 79 13
159 159 13
160 1 1
161 161 66
162 81 9
163 163 81
164 41 5
165 33 2
166 83 41
167 167 166
168 21 6
169 169 78
170 17 16
171 171 18
172 43 21
173 173 43
174 87 28
175 7 6
176 11 2
177 177 58
178 89 44
179 179 178
180 9 1
181 181 180
182 91 6
183 183 60
184 23 22
185 37 3
186 93 15
187 187 16
188 47 46
189 189 6
190 19 18
191 191 95
192 3 1
193 193 192
194 97 96
195 39 6
196 49 42
197 197 98
198 99 2
199 199 99
200 1 1
201 201 33
202 101 4
203 203 84
204 51 16
205 41 5
206 103 34
207 207 22
208 13 6
209 209 18
210 21 6
211 211 30
212 53 13
213 213 35
214 107 53
215 43 21
216 27 3
217 217 30
218 109 108
219 219 8
220 11 2
221 221 48
222 111 3
223 223 222
224 7 6
225 9 1
226 113 112
227 227 113
228 57 18
229 229 228
230 23 22
231 231 6
232 29 28
233 233 232
234 117 6
235 47 46
236 59 58
237 237 13
238 119 48
239 239 7
240 3 1
241 241 30
242 121 22
243 243 27
244 61 60
245 49 42
246 123 5
247 247 18
248 31 15
249 249 41
250 1 1
251 251 50
252 63 6
253 253 22
254 127 42
255 51 16
256 1 1
257 257 256
258 129 21
259 259 6
260 13 6
261 261 28
262 131 130
263 263 262
264 33 2
265 53 13
266 133 18
267 267 44
268 67 33
269 269 268
270 27 3
271 271 5
272 17 16
273 273 6
274 137 8
275 11 2
276 69 22
277 277 69
278 139 46
279 279 15
280 7 6
281 281 28
282 141 46
283 283 141
284 71 35
285 57 18
286 143 6
287 287 30
288 9 1
289 289 272
290 29 28
291 291 96
292 73 8
293 293 146
294 147 42
295 59 58
296 37 3
297 297 6
298 149 148
299 299 66
300 3 1
301 301 42
302 151 75
303 303 4
304 19 18
305 61 60
306 153 16
307 307 153
308 77 6
309 309 34
310 31 15
311 311 155
312 39 6
313 313 312
314 157 78
315 63 6
316 79 13
317 317 79
318 159 13
319 319 28
320 1 1
321 321 53
322 161 66
323 323 144
324 81 9
325 13 6
326 163 81
327 327 108
328 41 5
329 329 138
330 33 2
331 331 110
332 83 41
333 333 3
334 167 166
335 67 33
336 21 6
337 337 336
338 169 78
339 339 112
340 17 16
341 341 30
342 171 18
343 343 294
344 43 21
345 69 22
346 173 43
347 347 173
348 87 28
349 349 116
350 7 6
351 351 6
352 11 2
353 353 32
354 177 58
355 71 35
356 89 44
357 357 48
358 179 178
359 359 179
360 9 1
361 361 342
362 181 180
363 363 22
364 91 6
365 73 8
366 183 60
367 367 366
368 23 22
369 369 5
370 37 3
371 371 78
372 93 15
373 373 186
374 187 16
375 3 1
376 47 46
377 377 84
378 189 6
379 379 378
380 19 18
381 381 42
382 191 95
383 383 382
384 3 1
385 77 6
386 193 192
387 387 21
388 97 96
389 389 388
390 39 6
391 391 176
392 49 42
393 393 130
394 197 98
395 79 13
396 99 2
397 397 99
398 199 99
399 399 18
400 1 1
401 401 200
402 201 33
403 403 30
404 101 4
405 81 9
406 203 84
407 407 6
408 51 16
409 409 204
410 41 5
411 411 8
412 103 34
413 413 174
414 207 22
415 83 41
416 13 6
417 417 46
418 209 18
419 419 418
420 21 6
421 421 140
422 211 30
423 423 46
424 53 13
425 17 16
426 213 35
427 427 60
428 107 53
429 429 6
430 43 21
431 431 215
432 27 3
433 433 432
434 217 30
435 87 28
436 109 108
437 437 198
438 219 8
439 439 219
440 11 2
441 441 42
442 221 48
443 443 221
444 111 3
445 89 44
446 223 222
447 447 148
448 7 6
449 449 32
450 9 1
451 451 10
452 113 112
453 453 75
454 227 113
455 91 6
456 57 18
457 457 152
458 229 228
459 459 48
460 23 22
461 461 460
462 231 6
463 463 154
464 29 28
465 93 15
466 233 232
467 467 233
468 117 6
469 469 66
470 47 46
471 471 78
472 59 58
473 473 42
474 237 13
475 19 18
476 119 48
477 477 13
478 239 7
479 479 239
480 3 1
481 481 6
482 241 30
483 483 66
484 121 22
485 97 96
486 243 27
487 487 486
488 61 60
489 489 81
490 49 42
491 491 490
492 123 5
493 493 112
494 247 18
495 99 2
496 31 15
497 497 210
498 249 41
499 499 498
500 1 1
|
|
Posted by Charlie
on 2012-12-01 10:54:54 |
re(2): This may be right (Why it isn't.)
