perplexus.info :: Sequences : 15=5*3

15=5*3 (Posted on 2018-03-01)

(1,8,15);(2,7,12);(3,4,5);(6,10,14);(9,11,13).
The above line represents grouping of the first 15 integers into disjoint subsets of 3 elements, each triplet being an ascending arithmetic progression - each triplet with unique difference.
List all possible groupings into 5 triplets - each grouping with another set of 5 distinct differences.
Order the triplets by the value of the 1st element, like in the example shown.

See The Solution Submitted by Ady TZIDON

No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)

computer solution

Comment 1 of 1

Disregarding the requirement that each of the five differences should be unique there are 55 sets of five sequences, presented below. Each set is listed in order of the first member of each sequence. Only the last two sets listed have unique differences per sequence.

       --------------  sets ---------------             differences
 1 2 3     4 5 6     7 8 9     10 11 12     13 14 15     1 1 1 1 1
 1 2 3     4 5 6     7 8 9     10 12 14     11 13 15     1 1 1 2 2
 1 2 3     4 5 6     7 9 11     8 10 12     13 14 15     1 1 2 2 1
 1 2 3     4 5 6     7 10 13     8 11 14     9 12 15     1 1 3 3 3
 1 2 3     4 5 6     7 11 15     8 9 10     12 13 14     1 1 4 1 1
 1 2 3     4 6 8     5 7 9     10 11 12     13 14 15     1 2 2 1 1
 1 2 3     4 6 8     5 7 9     10 12 14     11 13 15     1 2 2 2 2
 1 2 3     4 6 8     5 9 13     7 11 15     10 12 14     1 2 4 4 2
 1 2 3     4 6 8     5 10 15     7 9 11     12 13 14     1 2 5 2 1
 1 2 3     4 7 10     5 8 11     6 9 12     13 14 15     1 3 3 3 1
 1 2 3     4 8 12     5 6 7     9 10 11     13 14 15     1 4 1 1 1
 1 2 3     4 8 12     5 7 9     6 10 14     11 13 15     1 4 2 4 2
 1 2 3     4 8 12     5 9 13     6 10 14     7 11 15     1 4 4 4 4
 1 2 3     4 9 14     5 6 7     8 10 12     11 13 15     1 5 1 2 2
 1 2 3     4 9 14     5 10 15     6 7 8     11 12 13     1 5 5 1 1
 1 3 5     2 4 6     7 8 9     10 11 12     13 14 15     2 2 1 1 1
 1 3 5     2 4 6     7 8 9     10 12 14     11 13 15     2 2 1 2 2
 1 3 5     2 4 6     7 9 11     8 10 12     13 14 15     2 2 2 2 1
 1 3 5     2 4 6     7 10 13     8 11 14     9 12 15     2 2 3 3 3
 1 3 5     2 4 6     7 11 15     8 9 10     12 13 14     2 2 4 1 1
 1 3 5     2 6 10     4 8 12     7 9 11     13 14 15     2 4 4 2 1
 1 3 5     2 7 12     4 6 8     9 10 11     13 14 15     2 5 2 1 1
 1 3 5     2 7 12     4 9 14     6 8 10     11 13 15     2 5 5 2 2
 1 3 5     2 8 14     4 7 10     6 9 12     11 13 15     2 6 3 3 2
 1 4 7     2 5 8     3 6 9     10 11 12     13 14 15     3 3 3 1 1
 1 4 7     2 5 8     3 6 9     10 12 14     11 13 15     3 3 3 2 2
 1 4 7     2 5 8     3 9 15     6 10 14     11 12 13     3 3 6 4 1
 1 4 7     2 6 10     3 9 15     5 8 11     12 13 14     3 4 6 3 1
 1 4 7     2 8 14     3 6 9     5 10 15     11 12 13     3 6 3 5 1
 1 5 9     2 3 4     6 7 8     10 11 12     13 14 15     4 1 1 1 1
 1 5 9     2 3 4     6 7 8     10 12 14     11 13 15     4 1 1 2 2
 1 5 9     2 3 4     6 8 10     7 11 15     12 13 14     4 1 2 4 1
 1 5 9     2 4 6     3 7 11     8 10 12     13 14 15     4 2 4 2 1
 1 5 9     2 4 6     3 8 13     7 11 15     10 12 14     4 2 5 4 2
 1 5 9     2 6 10     3 7 11     4 8 12     13 14 15     4 4 4 4 1
 1 6 11     2 3 4     5 7 9     8 10 12     13 14 15     5 1 2 2 1
 1 6 11     2 3 4     5 10 15     7 8 9     12 13 14     5 1 5 1 1
 1 6 11     2 5 8     3 9 15     4 7 10     12 13 14     5 3 6 3 1
 1 6 11     2 7 12     3 4 5     8 9 10     13 14 15     5 5 1 1 1
 1 6 11     2 7 12     3 8 13     4 9 14     5 10 15     5 5 5 5 5
 1 6 11     2 8 14     3 4 5     7 10 13     9 12 15     5 6 1 3 3
 1 7 13     2 3 4     5 8 11     6 10 14     9 12 15     6 1 3 4 3
 1 7 13     2 3 4     5 10 15     6 9 12     8 11 14     6 1 5 3 3
 1 7 13     2 4 6     3 9 15     5 8 11     10 12 14     6 2 6 3 2
 1 7 13     2 6 10     3 4 5     8 11 14     9 12 15     6 4 1 3 3
 1 7 13     2 8 14     3 9 15     4 5 6     10 11 12     6 6 6 1 1
 1 8 15     2 3 4     5 6 7     9 10 11     12 13 14     7 1 1 1 1
 1 8 15     2 3 4     5 6 7     9 11 13     10 12 14     7 1 1 2 2
 1 8 15     2 3 4     5 7 9     6 10 14     11 12 13     7 1 2 4 1
 1 8 15     2 4 6     3 5 7     9 10 11     12 13 14     7 2 2 1 1
 1 8 15     2 4 6     3 5 7     9 11 13     10 12 14     7 2 2 2 2
 1 8 15     2 4 6     3 7 11     5 9 13     10 12 14     7 2 4 4 2
 1 8 15     2 6 10     3 4 5     7 9 11     12 13 14     7 4 1 2 1
 1 8 15     2 6 10     3 5 7     4 9 14     11 12 13     7 4 2 5 1
 1 8 15     2 7 12     3 4 5     6 10 14     9 11 13     7 5 1 4 2

As mentioned, I note that the last two sets of sequences are the only sets where each sequence has a unique difference, the last one being the set given in the puzzle itself. They are inverses of one another, with 1 being interchanged with 15, 2 with 14, etc. so that for example (2,7,12) in the last set corresponds to (4,9,14) in the set prior.

DefDbl A-Z

Dim crlf$, seq(5, 3), used(15), ct

Private Sub Form_Load()

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""

crlf$ = Chr(13) & Chr(10)

seq(1, 1) = 1: used(1) = 1

addOn 1

Text1.Text = Text1.Text & crlf & ct & " done"

End Sub

Sub addOn(s)

DoEvents

f = seq(s, 1)

maxdiff = (15 - f) / 2

For diff = 1 To maxdiff

s2 = f + diff

s3 = f + 2 * diff

If used(s2) = 0 And used(s3) = 0 Then

seq(s, 2) = s2

seq(s, 3) = s3

used(s2) = 1: used(s3) = 1

If s = 5 Then

For st = 1 To 5

For mbr = 1 To 3

Text1.Text = Text1.Text & Str$(seq(st, mbr))

Text1.Text = Text1.Text & " "

For st = 1 To 5

Text1.Text = Text1.Text & Str(seq(st, 2) - seq(st, 1))

Text1.Text = Text1.Text & crlf

ct = ct + 1

Else

For n = 2 To 15

If used(n) = 0 Then Exit For

seq(s + 1, 1) = n

used(n) = 1

addOn s + 1

used(n) = 0

End If

used(s2) = 0: used(s3) = 0

End If

End Sub

Posted by Charlie on 2018-03-01 15:40:50

Please log in:

Login:
Password:
Remember me:

Sign up! \| Forgot password

Search:

Search body:

Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (5)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:


perplexus dot info