The smallest relative primes satisfying the constraints
and their list of 5 are:
57 = 3*19 ( 3 5 11 19 43)
69 = 3*23 ( 3 5 11 19 23)
BTW - "Illation" is archaic and means: inference. "Inconsiderable" means so trivial as to be unworthy of contemplation. So this puzzle has a very odd title.
Program and table of the 1st 200 are below.
Note: There are repeated quotients!
program pp5
implicit none
integer cnt,irat,i1,i2,i3,i4,i5,i,j,k,prod(5),sumsq(5),
1 p(9600),anrp,rp(3,1000000),ibig,rpcnt,wincnt
real*8 rat
open(2,file='primes1.txt',status='old')
do i=1,1200
j=8*I-7
read(2,*)(p(k),k=j,j+7)
enddo
ibig=10**9
rpcnt=0
wincnt=0
do 10 i=1,999
do j=i+1,999
anrp=p(i)*p(j)
if(anrp.gt.ibig)go to 10
rpcnt=rpcnt+1
rp(1,rpcnt)=p(i)
rp(2,rpcnt)=p(j)
rp(3,rpcnt)=anrp
enddo
10 enddo
do 1 i1=1,100
prod(1)=p(i1)
sumsq(1)=p(i1)**2
do 2 i2=i1+1,100
prod(2)=prod(1)*p(i2)
sumsq(2)=sumsq(1)+p(i2)**2
if(prod(2).gt.ibig.or.sumsq(2).gt.ibig)go to 1
do 3 i3=i2+1,100
prod(3)=prod(2)*p(i3)
sumsq(3)=sumsq(2)+p(i3)**2
if(prod(3).gt.ibig.or.sumsq(3).gt.ibig)go to 2
do 4 i4=i3+1,100
prod(4)=prod(3)*p(i4)
sumsq(4)=sumsq(3)+p(i4)**2
if(prod(4).gt.ibig.or.sumsq(4).gt.ibig)go to 3
do 5 i5=i4+1,100
prod(5)=prod(4)*p(i5)
sumsq(5)=sumsq(4)+p(i5)**2
if(prod(5).gt.ibig.or.sumsq(5).gt.ibig)go to 4
rat=(1d0*prod(5))/(1d0*sumsq(5))
irat=rat
if(abs(rat-1.d0*irat).gt.1.d-14)go to 5
cnt=cnt+1
do 100 k=1,rpcnt
if(irat.eq.rp(3,k))then
wincnt=wincnt+1
print 200,wincnt,p(i1),p(i2),p(i3),p(i4),p(i5),
1 prod(5),sumsq(5),rp(3,k),rp(1,k),rp(2,k)
200 format(i6,x,5(i3,x),i9,'/',i9,x,i9,x,2(i5,x))
endif
100 enddo
5 enddo
4 enddo
3 enddo
2 enddo
1 enddo
end
index p1 p2 p3 p4 p5 product sum sq.s ratio prime prime
-------------------------------------------------------------------------
1 3 5 11 19 23 72105/ 1045 69 3 23
2 3 5 11 19 43 134805/ 2365 57 3 19
3 3 5 41 73 89 3995655/ 14965 267 3 89
4 3 5 67 131 149 19616595/ 43885 447 3 149
5 3 5 109 173 229 64773795/ 94285 687 3 229
6 3 5 131 163 251 80394045/ 106765 753 3 251
7 3 5 151 239 317 171603195/ 180445 951 3 317
8 3 7 11 17 29 113883/ 1309 87 3 29
9 3 7 41 109 227 21303723/ 65149 327 3 109
10 3 7 113 179 311 132102537/ 141589 933 3 311
11 3 11 37 139 347 58892493/ 141229 417 3 139
12 3 13 37 211 349 106261077/ 167869 633 3 211
13 3 13 43 271 331 150428577/ 185029 813 3 271
14 3 13 71 383 449 476176623/ 353509 1347 3 449
15 3 13 109 157 431 287652417/ 222469 1293 3 431
16 3 17 19 23 79 1760673/ 7429 237 3 79
17 3 17 23 61 379 27118587/ 148189 183 3 61
18 3 19 53 467 499 703992693/ 470269 1497 3 499
19 3 23 41 43 191 23234577/ 40549 573 3 191
20 3 31 41 131 383 191309649/ 166501 1149 3 383
21 3 137 157 359 409 884629345/ 339589 2605 5 521
22 5 7 19 59 89 3491915/ 11837 295 5 59
23 5 7 43 113 139 23639035/ 34013 695 5 139
24 5 7 59 109 227 51094295/ 66965 763 7 109
25 5 7 79 179 223 110370505/ 88085 1253 7 179
26 5 7 83 239 433 300629735/ 251573 1195 5 239
27 5 11 17 37 41 1418395/ 3485 407 11 37
28 5 11 19 37 67 2590555/ 6365 407 11 37
29 5 11 41 47 131 13884035/ 21197 655 5 131
30 5 11 43 67 89 14102495/ 14405 979 11 89
31 5 13 19 41 43 2177305/ 4085 533 13 41
32 5 13 61 139 157 86528195/ 47885 1807 13 139
33 5 17 23 31 41 2484805/ 3485 713 23 31
34 5 17 29 53 61 7969345/ 7685 1037 17 61
35 5 17 37 311 337 329618015/ 211973 1555 5 311
36 5 17 61 79 367 150328705/ 144965 1037 17 61
37 5 17 79 139 401 374287385/ 186677 2005 5 401
38 5 17 89 97 401 294255805/ 178445 1649 17 97
39 5 19 23 31 67 4538245/ 6365 713 23 31
40 5 19 23 47 71 7291345/ 8165 893 19 47
41 5 19 31 47 127 17578705/ 19685 893 19 47
42 5 19 31 113 229 76207765/ 66557 1145 5 229
43 5 19 43 79 163 52602545/ 35045 1501 19 79
44 5 19 53 101 197 100181395/ 52205 1919 19 101
45 5 19 61 67 307 119197355/ 102845 1159 19 61
46 5 19 61 73 337 142562795/ 123005 1159 19 61
47 5 19 71 137 263 243029095/ 93365 2603 19 137
48 5 19 83 131 173 178697755/ 54365 3287 19 173
49 5 19 101 227 293 638173045/ 147965 4313 19 227
50 5 19 107 227 241 556096655/ 121445 4579 19 241
51 5 23 29 53 59 10428545/ 7685 1357 23 59
52 5 23 31 41 47 6869755/ 5405 1271 31 41
53 5 23 31 67 79 18869545/ 12245 1541 23 67
54 5 23 59 61 277 114646145/ 84485 1357 23 59
55 5 23 59 79 367 196717505/ 144965 1357 23 59
56 5 23 67 139 149 159578255/ 46565 3427 23 149
57 5 23 103 149 439 774793295/ 226085 3427 23 149
58 5 29 37 47 101 25467655/ 14645 1739 37 47
59 5 29 37 61 73 23890345/ 11285 2117 29 73
60 5 29 47 73 191 95021545/ 44885 2117 29 73
61 5 29 59 107 409 374392465/ 183077 2045 5 409
62 5 29 97 199 337 943241095/ 163445 5771 29 199
63 5 31 47 53 79 30502295/ 12245 2491 47 53
64 5 31 53 101 113 93757795/ 26765 3503 31 113
65 5 37 41 61 67 30999895/ 11285 2747 41 67
66 5 37 41 79 137 82092455/ 28085 2923 37 79
67 5 37 43 71 109 61563745/ 20165 3053 43 71
68 5 41 47 67 191 123299095/ 44885 2747 41 67
69 5 41 53 113 149 182934005/ 39485 4633 41 113
70 5 41 71 157 167 381617545/ 59285 6437 41 157
71 5 41 89 113 167 344301395/ 50285 6847 41 167
72 5 43 53 101 109 125447555/ 26765 4687 43 109
73 5 43 59 127 131 211040345/ 38645 5461 43 127
74 5 43 89 199 233 887232545/ 103685 8557 43 199
75 5 43 107 131 199 599717345/ 70085 8557 43 199
76 5 47 59 73 251 254048395/ 74045 3431 47 73
77 5 47 59 83 109 125436655/ 24485 5123 47 109
78 5 47 61 107 229 351250505/ 69845 5029 47 107
79 5 47 83 179 251 876340145/ 104165 8413 47 179
80 5 47 89 137 179 512898545/ 60965 8413 47 179
81 5 53 71 97 149 271933195/ 39485 6887 71 97
82 5 53 79 173 199 720729245/ 78605 9169 53 173
83 5 53 83 89 401 784979555/ 178445 4399 53 83
84 5 59 67 113 179 399786655/ 52805 7571 67 113
85 5 59 71 83 227 394624745/ 66965 5893 71 83
86 5 59 73 97 131 273645245/ 35405 7729 59 131
87 5 61 83 131 163 540551195/ 54365 9943 61 163
88 5 67 79 103 139 378899405/ 40685 9313 67 139
89 5 67 101 107 211 763892795/ 70685 10807 101 107
90 5 71 73 151 193 755240845/ 70445 10721 71 151
91 5 71 79 103 137 395742995/ 40685 9727 71 137
92 5 71 101 127 167 760448695/ 59285 12827 101 127
93 5 79 103 127 131 676876345/ 50165 13493 103 131
94 5 89 107 137 151 985011505/ 60965 16157 107 151
95 7 11 17 43 53 2983211/ 5117 583 11 53
96 7 11 31 53 197 24922667/ 42749 583 11 53
97 7 11 37 107 191 58225013/ 49469 1177 11 107
98 7 11 59 193 197 172729403/ 79709 2167 11 197
99 7 13 19 29 71 3560011/ 6461 551 19 29
100 7 13 19 41 113 8010457/ 15029 533 13 41
101 7 13 47 79 199 67238717/ 48269 1393 7 199
102 7 17 23 37 61 6177409/ 5957 1037 17 61
103 7 17 79 163 431 660448453/ 218909 3017 7 431
104 7 19 23 97 179 53113417/ 42389 1253 7 179
105 7 19 23 181 337 186589823/ 147269 1267 7 181
106 7 19 31 79 173 56349041/ 37541 1501 19 79
107 7 23 37 61 109 39608093/ 17549 2257 37 61
108 7 23 67 149 401 644512463/ 188069 3427 23 149
109 7 29 41 43 89 31852121/ 12341 2581 29 89
110 7 29 43 89 127 98663887/ 26789 3683 29 127
111 7 29 61 71 127 111657511/ 25781 4331 61 71
112 7 29 61 167 197 407388317/ 71309 5713 29 197
113 7 29 79 197 251 792981539/ 108941 7279 29 251
114 7 29 257 263 367 740629795/ 270797 2735 5 547
115 7 31 37 103 191 157954517/ 49469 3193 31 103
116 7 31 59 67 449 385152649/ 210581 1829 31 59
117 7 31 59 73 491 458897929/ 250901 1829 31 59
118 7 31 89 163 257 809040883/ 101549 7967 31 257
119 7 37 73 79 191 285287723/ 49469 5767 73 79
120 7 37 73 107 191 386402359/ 54677 7067 37 191
121 7 37 79 173 241 853080473/ 95669 8917 37 241
122 7 41 43 61 71 53448871/ 12341 4331 61 71
123 7 41 53 67 101 102932837/ 19229 5353 53 101
124 7 47 59 61 103 121959313/ 20069 6077 59 103
125 7 47 59 131 229 582310589/ 75341 7729 59 131
126 7 53 59 127 157 436444771/ 47117 9263 59 157
127 7 53 59 167 199 727437137/ 73829 9853 59 167
128 7 53 73 127 151 519370691/ 47117 11023 73 151
129 7 59 73 97 109 318765377/ 30149 10573 97 109
130 7 73 89 107 173 841861769/ 54677 15397 89 173
131 11 13 17 43 61 6376513/ 6149 1037 17 61
132 11 13 17 97 107 25231349/ 21437 1177 11 107
133 11 13 19 29 373 29389789/ 140621 209 11 19
134 11 13 23 43 59 8344193/ 6149 1357 23 59
135 11 13 23 127 223 93147769/ 66677 1397 11 127
136 11 13 29 37 107 16417973/ 13949 1177 11 107
137 11 13 29 163 277 187241197/ 104429 1793 11 163
138 11 13 29 181 229 171889003/ 86333 1991 11 181
139 11 13 37 197 233 242862191/ 94757 2563 11 233
140 11 13 41 181 457 484969771/ 243581 1991 11 181
141 11 17 23 61 233 61130113/ 58949 1037 17 61
142 11 17 29 47 73 18606313/ 8789 2117 29 73
143 11 17 37 73 197 99502139/ 45917 2167 11 197
144 11 17 41 47 67 24143383/ 8789 2747 41 67
145 11 17 41 53 179 72736829/ 36941 1969 11 179
146 11 17 97 127 331 762509143/ 135509 5627 17 331
147 11 19 29 37 71 15922247/ 7733 2059 29 71
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Edited on March 17, 2023, 11:42 pm
soln
