All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Numbers
Inconsiderable Five-Prime Ratio Illation (Posted on 2022-01-12) Difficulty: 3 of 5
p1, p2, p3, p4 and p5 are 5 distinct prime numbers, with p1< p2<p3<p4<p5, that satisfy this relationship:
 
 p1*p2*p3*p4*p5
------------------- = px* py 
p12+p22+p32+p42+p52

where px and py are distinct prime numberĪµ(p1,p2,p3,p4,p5).
Determine the minimum value of px* py.
What is the next smallest value of px* py?

See The Solution Submitted by K Sengupta    
Rating: 4.0000 (2 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
computer solution | Comment 2 of 4 |
clc, clearvars
pSet=primes(nthprime(55));
p5Set=nchoosek(pSet,5);
for wh5=1:length(p5Set)
   p5=p5Set(wh5,:);
   num0=prod(p5);
   den=sum(p5.^2);
   p2Set=nchoosek(p5,2);
   for wh2=1:length(p2Set)
       num=num0/prod(p2Set(wh2,:));   
       if num==den
          disp(p5Set(wh5,:))
          disp([p2Set(wh2,:) prod(p2Set(wh2,:))])
          disp(p5.^2)
          disp([num den])
          disp(' ')
       end
   end
end


In the groups below, where the numbers satisfy the equation, the first row contains p(1) through p(5). The second row contains p(x), p(y) and their product p(x)*p(y). The third row contains the squares of the primes in the first row, which of course add up to the denominator of the fraction. The last row are, first the product of the five primes divided by the product of the two chosen to have the x and y subscripts, and second, the sum of the squares. These are of course equal, as each side of the equation is divided by the RHS of the original equation.

Primes included those through the 55th, which is 257.

The lowest product p(x)*p(y) found is 57 = 3 * 19, chosen from the five primes in the numerator,  3     5    11    19    43.

As the numbers tend to get higher as higher primes are allowed, it would seem that 57 is the lowest, and 69 the second lowest. This is almost certainly the case.

It's to be noticed that when expressed as p(a)*p(b)*p(c) / (p(a)^2+p(b)^2+p(c)^2+p(x)^2+p(y)^2) = 1, or p(a)*p(b)*p(c) = p(a)^2+p(b)^2+p(c)^2+p(x)^2+p(y)^2, that the LHS increases, generally as the cube of the size of the primes and the RHS as the square.  This might be of use in an analytic proof.

Also note that the two primes subscripted by x and y are all the highest two (suscripts 4 and 5) of the set of five. If this is proven to be always the case, then the numbers 57 and 69 are varified.

     3     5    11    19    23
     3    23    69
     9    25   121   361   529
        1045        1045
 
     3     5    11    19    43
     3    19    57
           9          25         121         361        1849
        2365        2365
 
     3     5    41    73    89
     3    89   267
           9          25        1681        5329        7921
       14965       14965
 
     3     5    67   131   149
     3   149   447
           9          25        4489       17161       22201
       43885       43885
 
     3     5   109   173   229
     3   229   687
           9          25       11881       29929       52441
       94285       94285
 
     3     5   131   163   251
     3   251   753
           9          25       17161       26569       63001
      106765      106765
 
     3     7    11    17    29
     3    29    87
     9    49   121   289   841
        1309        1309
 
     3     7    41   109   227
     3   109   327
           9          49        1681       11881       51529
       65149       65149
 
     3    17    19    23    79
     3    79   237
           9         289         361         529        6241
        7429        7429
 
     3    23    41    43   191
     3   191   573
           9         529        1681        1849       36481
       40549       40549
 
     5     7    19    59    89
     5    59   295
          25          49         361        3481        7921
       11837       11837
 
     5     7    43   113   139
     5   139   695
          25          49        1849       12769       19321
       34013       34013
 
     5     7    59   109   227
     7   109   763
          25          49        3481       11881       51529
       66965       66965
 
     5     7    79   179   223
           7         179        1253
          25          49        6241       32041       49729
       88085       88085
 
     5    11    17    37    41
    11    37   407
          25         121         289        1369        1681
        3485        3485
 
     5    11    19    37    67
    11    37   407
          25         121         361        1369        4489
        6365        6365
 
     5    11    41    47   131
     5   131   655
          25         121        1681        2209       17161
       21197       21197
 
     5    11    43    67    89
    11    89   979
          25         121        1849        4489        7921
       14405       14405
 
     5    13    19    41    43
    13    41   533
          25         169         361        1681        1849
        4085        4085
 
     5    13    61   139   157
          13         139        1807
          25         169        3721       19321       24649
       47885       47885
 
     5    17    23    31    41
    23    31   713
          25         289         529         961        1681
        3485        3485
 
     5    17    29    53    61
          17          61        1037
          25         289         841        2809        3721
        7685        7685
 
     5    19    23    31    67
    23    31   713
          25         361         529         961        4489
        6365        6365
 
     5    19    23    47    71
    19    47   893
          25         361         529        2209        5041
        8165        8165
 
     5    19    31    47   127
    19    47   893
          25         361         961        2209       16129
       19685       19685
 
     5    19    31   113   229
           5         229        1145
          25         361         961       12769       52441
       66557       66557
 
     5    19    43    79   163
          19          79        1501
          25         361        1849        6241       26569
       35045       35045
 
     5    19    53   101   197
          19         101        1919
          25         361        2809       10201       38809
       52205       52205
 
     5    19    83   131   173
          19         173        3287
          25         361        6889       17161       29929
       54365       54365
 
     5    19   107   227   241
          19         241        4579
          25         361       11449       51529       58081
      121445      121445
 
     5    23    29    53    59
          23          59        1357
          25         529         841        2809        3481
        7685        7685
 
     5    23    31    41    47
          31          41        1271
          25         529         961        1681        2209
        5405        5405
 
     5    23    31    67    79
          23          67        1541
          25         529         961        4489        6241
       12245       12245
 
     5    23    67   139   149
          23         149        3427
          25         529        4489       19321       22201
       46565       46565
 
     5    29    37    47   101
          37          47        1739
          25         841        1369        2209       10201
       14645       14645
 
     5    29    37    61    73
          29          73        2117
          25         841        1369        3721        5329
       11285       11285
 
     5    29    47    73   191
          29          73        2117
          25         841        2209        5329       36481
       44885       44885
 
     5    31    47    53    79
          47          53        2491
          25         961        2209        2809        6241
       12245       12245
 
     5    31    53   101   113
          31         113        3503
          25         961        2809       10201       12769
       26765       26765
 
     5    37    41    61    67
          41          67        2747
          25        1369        1681        3721        4489
       11285       11285
 
     5    37    41    79   137
          37          79        2923
          25        1369        1681        6241       18769
       28085       28085
 
     5    37    43    71   109
          43          71        3053
          25        1369        1849        5041       11881
       20165       20165
 
     5    41    47    67   191
          41          67        2747
          25        1681        2209        4489       36481
       44885       44885
 
     5    41    53   113   149
          41         113        4633
          25        1681        2809       12769       22201
       39485       39485
 
     5    41    71   157   167
          41         157        6437
          25        1681        5041       24649       27889
       59285       59285
 
     5    41    89   113   167
          41         167        6847
          25        1681        7921       12769       27889
       50285       50285
 
     5    43    53   101   109
          43         109        4687
          25        1849        2809       10201       11881
       26765       26765
 
     5    43    59   127   131
          43         127        5461
          25        1849        3481       16129       17161
       38645       38645
 
     5    43    89   199   233
          43         199        8557
          25        1849        7921       39601       54289
      103685      103685
 
     5    43   107   131   199
          43         199        8557
          25        1849       11449       17161       39601
       70085       70085
 
     5    47    59    73   251
          47          73        3431
          25        2209        3481        5329       63001
       74045       74045
 
     5    47    59    83   109
          47         109        5123
          25        2209        3481        6889       11881
       24485       24485
 
     5    47    61   107   229
          47         107        5029
          25        2209        3721       11449       52441
       69845       69845
 
     5    47    83   179   251
          47         179        8413
          25        2209        6889       32041       63001
      104165      104165
 
     5    47    89   137   179
          47         179        8413
          25        2209        7921       18769       32041
       60965       60965
 
     5    53    71    97   149
          71          97        6887
          25        2809        5041        9409       22201
       39485       39485
 
     5    53    79   173   199
          53         173        9169
          25        2809        6241       29929       39601
       78605       78605
 
     5    59    67   113   179
          67         113        7571
          25        3481        4489       12769       32041
       52805       52805
 
     5    59    71    83   227
          71          83        5893
          25        3481        5041        6889       51529
       66965       66965
 
     5    59    73    97   131
          59         131        7729
          25        3481        5329        9409       17161
       35405       35405
 
     5    61    83   131   163
          61         163        9943
          25        3721        6889       17161       26569
       54365       54365
 
     5    61    83   179   227
          61         179       10919
          25        3721        6889       32041       51529
       94205       94205
 
     5    67    79   103   139
          67         139        9313
          25        4489        6241       10609       19321
       40685       40685
 
     5    67   101   107   211
         101         107       10807
          25        4489       10201       11449       44521
       70685       70685
 
     5    67   109   157   211
          67         211       14137
          25        4489       11881       24649       44521
       85565       85565
 
     5    67   127   151   229
          67         229       15343
          25        4489       16129       22801       52441
       95885       95885
 
     5    71    73   151   193
          71         151       10721
          25        5041        5329       22801       37249
       70445       70445
 
     5    71    79   103   137
          71         137        9727
          25        5041        6241       10609       18769
       40685       40685
 
     5    71   101   127   167
         101         127       12827
          25        5041       10201       16129       27889
       59285       59285
 
     5    79   103   127   131
         103         131       13493
          25        6241       10609       16129       17161
       50165       50165
 
     5    79   113   137   199
          79         199       15721
          25        6241       12769       18769       39601
       77405       77405
 
     5    79   113   139   223
         113         139       15707
          25        6241       12769       19321       49729
       88085       88085
 
     5    83   107   151   251
         107         151       16157
          25        6889       11449       22801       63001
      104165      104165
 
     5    89    97   179   233
          97         179       17363
          25        7921        9409       32041       54289
      103685      103685
 
     5    89   107   137   151
         107         151       16157
          25        7921       11449       18769       22801
       60965       60965
 
     5    97   107   131   179
          97         179       17363
          25        9409       11449       17161       32041
       70085       70085
 
     5    97   109   157   199
          97         199       19303
          25        9409       11881       24649       39601
       85565       85565
 
     5    97   151   163   241
         151         163       24613
          25        9409       22801       26569       58081
      116885      116885
 
     5   101   109   157   197
         101         197       19897
          25       10201       11881       24649       38809
       85565       85565
 
     5   101   139   167   173
         139         167       23213
          25       10201       19321       27889       29929
       87365       87365
 
     5   131   173   233   251
         173         233       40309
          25       17161       29929       54289       63001
      164405      164405
 
     5   157   163   181   241
         163         241       39283
          25       24649       26569       32761       58081
      142085      142085
 
     5   167   227   239   251
         227         251       56977
          25       27889       51529       57121       63001
      199565      199565
 
     5   173   197   211   239
         211         239       50429
          25       29929       38809       44521       57121
      170405      170405
 
     7    11    17    43    53
    11    53   583
          49         121         289        1849        2809
        5117        5117
 
     7    11    31    53   197
    11    53   583
          49         121         961        2809       38809
       42749       42749
 
     7    11    37   107   191
          11         107        1177
          49         121        1369       11449       36481
       49469       49469
 
     7    11    59   193   197
          11         197        2167
          49         121        3481       37249       38809
       79709       79709
 
     7    13    19    29    71
    19    29   551
          49         169         361         841        5041
        6461        6461
 
     7    13    19    41   113
    13    41   533
          49         169         361        1681       12769
       15029       15029
 
     7    13    47    79   199
           7         199        1393
          49         169        2209        6241       39601
       48269       48269
 
     7    17    23    37    61
          17          61        1037
          49         289         529        1369        3721
        5957        5957
 
     7    19    23    97   179
           7         179        1253
          49         361         529        9409       32041
       42389       42389
 
     7    19    31    79   173
          19          79        1501
          49         361         961        6241       29929
       37541       37541
 
     7    23    37    61   109
          37          61        2257
          49         529        1369        3721       11881
       17549       17549
 
     7    29    41    43    89
          29          89        2581
          49         841        1681        1849        7921
       12341       12341
 
     7    29    43    89   127
          29         127        3683
          49         841        1849        7921       16129
       26789       26789
 
     7    29    61    71   127
          61          71        4331
          49         841        3721        5041       16129
       25781       25781
 
     7    29    61   167   197
          29         197        5713
          49         841        3721       27889       38809
       71309       71309
 
     7    29    79   197   251
          29         251        7279
          49         841        6241       38809       63001
      108941      108941
 
     7    31    37   103   191
          31         103        3193
          49         961        1369       10609       36481
       49469       49469
 
     7    31    89   163   257
          31         257        7967
          49         961        7921       26569       66049
      101549      101549
 
     7    37    73    79   191
          73          79        5767
          49        1369        5329        6241       36481
       49469       49469
 
     7    37    73   107   191
          37         191        7067
          49        1369        5329       11449       36481
       54677       54677
 
     7    37    79   173   241
          37         241        8917
          49        1369        6241       29929       58081
       95669       95669
 
     7    41    43    61    71
          61          71        4331
          49        1681        1849        3721        5041
       12341       12341
 
     7    41    53    67   101
          53         101        5353
          49        1681        2809        4489       10201
       19229       19229
 
     7    47    59    61   103
          59         103        6077
          49        2209        3481        3721       10609
       20069       20069
 
     7    47    59   131   229
          59         131        7729
          49        2209        3481       17161       52441
       75341       75341
 
     7    53    59   127   157
          59         157        9263
          49        2809        3481       16129       24649
       47117       47117
 
     7    53    59   167   199
          59         167        9853
          49        2809        3481       27889       39601
       73829       73829
 
     7    53    73   127   151
          73         151       11023
          49        2809        5329       16129       22801
       47117       47117
 
     7    59    73    97   109
          97         109       10573
          49        3481        5329        9409       11881
       30149       30149
 
     7    59    83   179   193
          83         179       14857
          49        3481        6889       32041       37249
       79709       79709
 
     7    59   127   151   193
         127         151       19177
          49        3481       16129       22801       37249
       79709       79709
 
     7    61    83   167   181
          83         181       15023
          49        3721        6889       27889       32761
       71309       71309
 
     7    73    89   107   173
          89         173       15397
          49        5329        7921       11449       29929
       54677       54677
 
     7    73    89   131   191
          89         191       16999
          49        5329        7921       17161       36481
       66941       66941
 
     7    73   101   127   241
          73         241       17593
          49        5329       10201       16129       58081
       89789       89789
 
     7    79    89   173   227
          89         227       20203
          49        6241        7921       29929       51529
       95669       95669
 
     7    79   101   131   149
         131         149       19519
          49        6241       10201       17161       22201
       55853       55853
 
     7    79   139   197   211
         139         211       29329
          49        6241       19321       38809       44521
      108941      108941
 
     7    79   149   173   193
         149         193       28757
          49        6241       22201       29929       37249
       95669       95669
 
     7   101   109   127   227
         109         227       24743
          49       10201       11881       16129       51529
       89789       89789
 
     7   101   181   199   241
         181         241       43621
          49       10201       32761       39601       58081
      140693      140693
 
     7   101   199   223   241
         199         241       47959
          49       10201       39601       49729       58081
      157661      157661
 
     7   113   211   229   239
         229         239       54731
          49       12769       44521       52441       57121
      166901      166901
 
    11    13    17    43    61
          17          61        1037
         121         169         289        1849        3721
        6149        6149
 
    11    13    17    97   107
          11         107        1177
         121         169         289        9409       11449
       21437       21437
 
    11    13    23    43    59
          23          59        1357
         121         169         529        1849        3481
        6149        6149
 
    11    13    23   127   223
          11         127        1397
         121         169         529       16129       49729
       66677       66677
 
    11    13    29    37   107
          11         107        1177
         121         169         841        1369       11449
       13949       13949
 
    11    13    29   181   229
          11         181        1991
         121         169         841       32761       52441
       86333       86333
 
    11    13    37   197   233
          11         233        2563
         121         169        1369       38809       54289
       94757       94757
 
    11    17    23    61   233
          17          61        1037
         121         289         529        3721       54289
       58949       58949
 
    11    17    29    47    73
          29          73        2117
         121         289         841        2209        5329
        8789        8789
 
    11    17    37    73   197
          11         197        2167
         121         289        1369        5329       38809
       45917       45917
 
    11    17    41    47    67
          41          67        2747
         121         289        1681        2209        4489
        8789        8789
 
    11    17    41    53   179
          11         179        1969
         121         289        1681        2809       32041
       36941       36941
 
    11    19    29    37    71
          29          71        2059
         121         361         841        1369        5041
        7733        7733
 
    11    19    43    61   151
          19         151        2869
         121         361        1849        3721       22801
       28853       28853
 
    11    23    41    71   157
          23         157        3611
         121         529        1681        5041       24649
       32021       32021
 
    11    23    61   107   113
          61         107        6527
         121         529        3721       11449       12769
       28589       28589
 
    11    23    71   101   137
          71         101        7171
         121         529        5041       10201       18769
       34661       346
  Posted by Charlie on 2022-01-13 08:10:38
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (1)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (5)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2023 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information