All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Inconsiderable Five-Prime Ratio Illation (Posted on 2022-01-12)
p1, p2, p3, p4 and p5 are 5 distinct prime numbers, with p1< p2<p3<p4<p5, that satisfy this relationship:
```
p1*p2*p3*p4*p5
------------------- = px* py
p12+p22+p32+p42+p52

where px and py are distinct prime numberĪµ(p1,p2,p3,p4,p5).```
Determine the minimum value of px* py.
What is the next smallest value of px* py?

 See The Solution Submitted by K Sengupta Rating: 4.0000 (2 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 computer solution | Comment 2 of 4 |
clc, clearvars
pSet=primes(nthprime(55));
p5Set=nchoosek(pSet,5);
for wh5=1:length(p5Set)
p5=p5Set(wh5,:);
num0=prod(p5);
den=sum(p5.^2);
p2Set=nchoosek(p5,2);
for wh2=1:length(p2Set)
num=num0/prod(p2Set(wh2,:));
if num==den
disp(p5Set(wh5,:))
disp([p2Set(wh2,:) prod(p2Set(wh2,:))])
disp(p5.^2)
disp([num den])
disp(' ')
end
end
end

In the groups below, where the numbers satisfy the equation, the first row contains p(1) through p(5). The second row contains p(x), p(y) and their product p(x)*p(y). The third row contains the squares of the primes in the first row, which of course add up to the denominator of the fraction. The last row are, first the product of the five primes divided by the product of the two chosen to have the x and y subscripts, and second, the sum of the squares. These are of course equal, as each side of the equation is divided by the RHS of the original equation.

Primes included those through the 55th, which is 257.

The lowest product p(x)*p(y) found is 57 = 3 * 19, chosen from the five primes in the numerator,  3     5    11    19    43.

As the numbers tend to get higher as higher primes are allowed, it would seem that 57 is the lowest, and 69 the second lowest. This is almost certainly the case.

It's to be noticed that when expressed as p(a)*p(b)*p(c) / (p(a)^2+p(b)^2+p(c)^2+p(x)^2+p(y)^2) = 1, or p(a)*p(b)*p(c) = p(a)^2+p(b)^2+p(c)^2+p(x)^2+p(y)^2, that the LHS increases, generally as the cube of the size of the primes and the RHS as the square.  This might be of use in an analytic proof.

Also note that the two primes subscripted by x and y are all the highest two (suscripts 4 and 5) of the set of five. If this is proven to be always the case, then the numbers 57 and 69 are varified.

```     3     5    11    19    23     3    23    69     9    25   121   361   529        1045        1045      3     5    11    19    43     3    19    57           9          25         121         361        1849        2365        2365      3     5    41    73    89     3    89   267           9          25        1681        5329        7921       14965       14965      3     5    67   131   149     3   149   447           9          25        4489       17161       22201       43885       43885      3     5   109   173   229     3   229   687           9          25       11881       29929       52441       94285       94285      3     5   131   163   251     3   251   753           9          25       17161       26569       63001      106765      106765      3     7    11    17    29     3    29    87     9    49   121   289   841        1309        1309      3     7    41   109   227     3   109   327           9          49        1681       11881       51529       65149       65149      3    17    19    23    79     3    79   237           9         289         361         529        6241        7429        7429      3    23    41    43   191     3   191   573           9         529        1681        1849       36481       40549       40549      5     7    19    59    89     5    59   295          25          49         361        3481        7921       11837       11837      5     7    43   113   139     5   139   695          25          49        1849       12769       19321       34013       34013      5     7    59   109   227     7   109   763          25          49        3481       11881       51529       66965       66965      5     7    79   179   223           7         179        1253          25          49        6241       32041       49729       88085       88085      5    11    17    37    41    11    37   407          25         121         289        1369        1681        3485        3485      5    11    19    37    67    11    37   407          25         121         361        1369        4489        6365        6365      5    11    41    47   131     5   131   655          25         121        1681        2209       17161       21197       21197      5    11    43    67    89    11    89   979          25         121        1849        4489        7921       14405       14405      5    13    19    41    43    13    41   533          25         169         361        1681        1849        4085        4085      5    13    61   139   157          13         139        1807          25         169        3721       19321       24649       47885       47885      5    17    23    31    41    23    31   713          25         289         529         961        1681        3485        3485      5    17    29    53    61          17          61        1037          25         289         841        2809        3721        7685        7685      5    19    23    31    67    23    31   713          25         361         529         961        4489        6365        6365      5    19    23    47    71    19    47   893          25         361         529        2209        5041        8165        8165      5    19    31    47   127    19    47   893          25         361         961        2209       16129       19685       19685      5    19    31   113   229           5         229        1145          25         361         961       12769       52441       66557       66557      5    19    43    79   163          19          79        1501          25         361        1849        6241       26569       35045       35045      5    19    53   101   197          19         101        1919          25         361        2809       10201       38809       52205       52205      5    19    83   131   173          19         173        3287          25         361        6889       17161       29929       54365       54365      5    19   107   227   241          19         241        4579          25         361       11449       51529       58081      121445      121445      5    23    29    53    59          23          59        1357          25         529         841        2809        3481        7685        7685      5    23    31    41    47          31          41        1271          25         529         961        1681        2209        5405        5405      5    23    31    67    79          23          67        1541          25         529         961        4489        6241       12245       12245      5    23    67   139   149          23         149        3427          25         529        4489       19321       22201       46565       46565      5    29    37    47   101          37          47        1739          25         841        1369        2209       10201       14645       14645      5    29    37    61    73          29          73        2117          25         841        1369        3721        5329       11285       11285      5    29    47    73   191          29          73        2117          25         841        2209        5329       36481       44885       44885      5    31    47    53    79          47          53        2491          25         961        2209        2809        6241       12245       12245      5    31    53   101   113          31         113        3503          25         961        2809       10201       12769       26765       26765      5    37    41    61    67          41          67        2747          25        1369        1681        3721        4489       11285       11285      5    37    41    79   137          37          79        2923          25        1369        1681        6241       18769       28085       28085      5    37    43    71   109          43          71        3053          25        1369        1849        5041       11881       20165       20165      5    41    47    67   191          41          67        2747          25        1681        2209        4489       36481       44885       44885      5    41    53   113   149          41         113        4633          25        1681        2809       12769       22201       39485       39485      5    41    71   157   167          41         157        6437          25        1681        5041       24649       27889       59285       59285      5    41    89   113   167          41         167        6847          25        1681        7921       12769       27889       50285       50285      5    43    53   101   109          43         109        4687          25        1849        2809       10201       11881       26765       26765      5    43    59   127   131          43         127        5461          25        1849        3481       16129       17161       38645       38645      5    43    89   199   233          43         199        8557          25        1849        7921       39601       54289      103685      103685      5    43   107   131   199          43         199        8557          25        1849       11449       17161       39601       70085       70085      5    47    59    73   251          47          73        3431          25        2209        3481        5329       63001       74045       74045      5    47    59    83   109          47         109        5123          25        2209        3481        6889       11881       24485       24485      5    47    61   107   229          47         107        5029          25        2209        3721       11449       52441       69845       69845      5    47    83   179   251          47         179        8413          25        2209        6889       32041       63001      104165      104165      5    47    89   137   179          47         179        8413          25        2209        7921       18769       32041       60965       60965      5    53    71    97   149          71          97        6887          25        2809        5041        9409       22201       39485       39485      5    53    79   173   199          53         173        9169          25        2809        6241       29929       39601       78605       78605      5    59    67   113   179          67         113        7571          25        3481        4489       12769       32041       52805       52805      5    59    71    83   227          71          83        5893          25        3481        5041        6889       51529       66965       66965      5    59    73    97   131          59         131        7729          25        3481        5329        9409       17161       35405       35405      5    61    83   131   163          61         163        9943          25        3721        6889       17161       26569       54365       54365      5    61    83   179   227          61         179       10919          25        3721        6889       32041       51529       94205       94205      5    67    79   103   139          67         139        9313          25        4489        6241       10609       19321       40685       40685      5    67   101   107   211         101         107       10807          25        4489       10201       11449       44521       70685       70685      5    67   109   157   211          67         211       14137          25        4489       11881       24649       44521       85565       85565      5    67   127   151   229          67         229       15343          25        4489       16129       22801       52441       95885       95885      5    71    73   151   193          71         151       10721          25        5041        5329       22801       37249       70445       70445      5    71    79   103   137          71         137        9727          25        5041        6241       10609       18769       40685       40685      5    71   101   127   167         101         127       12827          25        5041       10201       16129       27889       59285       59285      5    79   103   127   131         103         131       13493          25        6241       10609       16129       17161       50165       50165      5    79   113   137   199          79         199       15721          25        6241       12769       18769       39601       77405       77405      5    79   113   139   223         113         139       15707          25        6241       12769       19321       49729       88085       88085      5    83   107   151   251         107         151       16157          25        6889       11449       22801       63001      104165      104165      5    89    97   179   233          97         179       17363          25        7921        9409       32041       54289      103685      103685      5    89   107   137   151         107         151       16157          25        7921       11449       18769       22801       60965       60965      5    97   107   131   179          97         179       17363          25        9409       11449       17161       32041       70085       70085      5    97   109   157   199          97         199       19303          25        9409       11881       24649       39601       85565       85565      5    97   151   163   241         151         163       24613          25        9409       22801       26569       58081      116885      116885      5   101   109   157   197         101         197       19897          25       10201       11881       24649       38809       85565       85565      5   101   139   167   173         139         167       23213          25       10201       19321       27889       29929       87365       87365      5   131   173   233   251         173         233       40309          25       17161       29929       54289       63001      164405      164405      5   157   163   181   241         163         241       39283          25       24649       26569       32761       58081      142085      142085      5   167   227   239   251         227         251       56977          25       27889       51529       57121       63001      199565      199565      5   173   197   211   239         211         239       50429          25       29929       38809       44521       57121      170405      170405      7    11    17    43    53    11    53   583          49         121         289        1849        2809        5117        5117      7    11    31    53   197    11    53   583          49         121         961        2809       38809       42749       42749      7    11    37   107   191          11         107        1177          49         121        1369       11449       36481       49469       49469      7    11    59   193   197          11         197        2167          49         121        3481       37249       38809       79709       79709      7    13    19    29    71    19    29   551          49         169         361         841        5041        6461        6461      7    13    19    41   113    13    41   533          49         169         361        1681       12769       15029       15029      7    13    47    79   199           7         199        1393          49         169        2209        6241       39601       48269       48269      7    17    23    37    61          17          61        1037          49         289         529        1369        3721        5957        5957      7    19    23    97   179           7         179        1253          49         361         529        9409       32041       42389       42389      7    19    31    79   173          19          79        1501          49         361         961        6241       29929       37541       37541      7    23    37    61   109          37          61        2257          49         529        1369        3721       11881       17549       17549      7    29    41    43    89          29          89        2581          49         841        1681        1849        7921       12341       12341      7    29    43    89   127          29         127        3683          49         841        1849        7921       16129       26789       26789      7    29    61    71   127          61          71        4331          49         841        3721        5041       16129       25781       25781      7    29    61   167   197          29         197        5713          49         841        3721       27889       38809       71309       71309      7    29    79   197   251          29         251        7279          49         841        6241       38809       63001      108941      108941      7    31    37   103   191          31         103        3193          49         961        1369       10609       36481       49469       49469      7    31    89   163   257          31         257        7967          49         961        7921       26569       66049      101549      101549      7    37    73    79   191          73          79        5767          49        1369        5329        6241       36481       49469       49469      7    37    73   107   191          37         191        7067          49        1369        5329       11449       36481       54677       54677      7    37    79   173   241          37         241        8917          49        1369        6241       29929       58081       95669       95669      7    41    43    61    71          61          71        4331          49        1681        1849        3721        5041       12341       12341      7    41    53    67   101          53         101        5353          49        1681        2809        4489       10201       19229       19229      7    47    59    61   103          59         103        6077          49        2209        3481        3721       10609       20069       20069      7    47    59   131   229          59         131        7729          49        2209        3481       17161       52441       75341       75341      7    53    59   127   157          59         157        9263          49        2809        3481       16129       24649       47117       47117      7    53    59   167   199          59         167        9853          49        2809        3481       27889       39601       73829       73829      7    53    73   127   151          73         151       11023          49        2809        5329       16129       22801       47117       47117      7    59    73    97   109          97         109       10573          49        3481        5329        9409       11881       30149       30149      7    59    83   179   193          83         179       14857          49        3481        6889       32041       37249       79709       79709      7    59   127   151   193         127         151       19177          49        3481       16129       22801       37249       79709       79709      7    61    83   167   181          83         181       15023          49        3721        6889       27889       32761       71309       71309      7    73    89   107   173          89         173       15397          49        5329        7921       11449       29929       54677       54677      7    73    89   131   191          89         191       16999          49        5329        7921       17161       36481       66941       66941      7    73   101   127   241          73         241       17593          49        5329       10201       16129       58081       89789       89789      7    79    89   173   227          89         227       20203          49        6241        7921       29929       51529       95669       95669      7    79   101   131   149         131         149       19519          49        6241       10201       17161       22201       55853       55853      7    79   139   197   211         139         211       29329          49        6241       19321       38809       44521      108941      108941      7    79   149   173   193         149         193       28757          49        6241       22201       29929       37249       95669       95669      7   101   109   127   227         109         227       24743          49       10201       11881       16129       51529       89789       89789      7   101   181   199   241         181         241       43621          49       10201       32761       39601       58081      140693      140693      7   101   199   223   241         199         241       47959          49       10201       39601       49729       58081      157661      157661      7   113   211   229   239         229         239       54731          49       12769       44521       52441       57121      166901      166901     11    13    17    43    61          17          61        1037         121         169         289        1849        3721        6149        6149     11    13    17    97   107          11         107        1177         121         169         289        9409       11449       21437       21437     11    13    23    43    59          23          59        1357         121         169         529        1849        3481        6149        6149     11    13    23   127   223          11         127        1397         121         169         529       16129       49729       66677       66677     11    13    29    37   107          11         107        1177         121         169         841        1369       11449       13949       13949     11    13    29   181   229          11         181        1991         121         169         841       32761       52441       86333       86333     11    13    37   197   233          11         233        2563         121         169        1369       38809       54289       94757       94757     11    17    23    61   233          17          61        1037         121         289         529        3721       54289       58949       58949     11    17    29    47    73          29          73        2117         121         289         841        2209        5329        8789        8789     11    17    37    73   197          11         197        2167         121         289        1369        5329       38809       45917       45917     11    17    41    47    67          41          67        2747         121         289        1681        2209        4489        8789        8789     11    17    41    53   179          11         179        1969         121         289        1681        2809       32041       36941       36941     11    19    29    37    71          29          71        2059         121         361         841        1369        5041        7733        7733     11    19    43    61   151          19         151        2869         121         361        1849        3721       22801       28853       28853     11    23    41    71   157          23         157        3611         121         529        1681        5041       24649       32021       32021     11    23    61   107   113          61         107        6527         121         529        3721       11449       12769       28589       28589     11    23    71   101   137          71         101        7171         121         529        5041       10201       18769       34661       346

Posted by Charlie
on 2022-01-13 08:10:38

```

 Search: Search body:
Forums (1)