All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Inconsiderable Five-Prime Ratio Illation (Posted on 2022-01-12)
p1, p2, p3, p4 and p5 are 5 distinct prime numbers, with p1< p2<p3<p4<p5, that satisfy this relationship:
```
p1*p2*p3*p4*p5
------------------- = px* py
p12+p22+p32+p42+p52

where px and py are distinct prime numberĪµ(p1,p2,p3,p4,p5).```
Determine the minimum value of px* py.
What is the next smallest value of px* py?

 See The Solution Submitted by K Sengupta Rating: 4.0000 (2 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 soln | Comment 1 of 4
The smallest relative primes satisfying the constraints
and their list of 5 are:

57 = 3*19  ( 3   5  11  19  43)
69 = 3*23  ( 3   5  11  19  23)

BTW - "Illation" is archaic and means: inference. "Inconsiderable" means so trivial as to be unworthy of contemplation.  So this puzzle has a very odd title.

Program and table of the 1st 200 are below.
Note: There are repeated quotients!

program pp5
implicit none
integer cnt,irat,i1,i2,i3,i4,i5,i,j,k,prod(5),sumsq(5),
1 p(9600),anrp,rp(3,1000000),ibig,rpcnt,wincnt
real*8 rat
open(2,file='primes1.txt',status='old')
do i=1,1200
j=8*I-7
enddo
ibig=10**9
rpcnt=0
wincnt=0
do 10 i=1,999
do j=i+1,999
anrp=p(i)*p(j)
if(anrp.gt.ibig)go to 10
rpcnt=rpcnt+1
rp(1,rpcnt)=p(i)
rp(2,rpcnt)=p(j)
rp(3,rpcnt)=anrp
enddo
10         enddo
do 1 i1=1,100
prod(1)=p(i1)
sumsq(1)=p(i1)**2
do 2 i2=i1+1,100
prod(2)=prod(1)*p(i2)
sumsq(2)=sumsq(1)+p(i2)**2
if(prod(2).gt.ibig.or.sumsq(2).gt.ibig)go to 1
do 3 i3=i2+1,100
prod(3)=prod(2)*p(i3)
sumsq(3)=sumsq(2)+p(i3)**2
if(prod(3).gt.ibig.or.sumsq(3).gt.ibig)go to 2
do 4 i4=i3+1,100
prod(4)=prod(3)*p(i4)
sumsq(4)=sumsq(3)+p(i4)**2
if(prod(4).gt.ibig.or.sumsq(4).gt.ibig)go to 3
do 5 i5=i4+1,100
prod(5)=prod(4)*p(i5)
sumsq(5)=sumsq(4)+p(i5)**2
if(prod(5).gt.ibig.or.sumsq(5).gt.ibig)go to 4
rat=(1d0*prod(5))/(1d0*sumsq(5))
irat=rat
if(abs(rat-1.d0*irat).gt.1.d-14)go to 5
cnt=cnt+1
do 100 k=1,rpcnt
if(irat.eq.rp(3,k))then
wincnt=wincnt+1
print 200,wincnt,p(i1),p(i2),p(i3),p(i4),p(i5),
1       prod(5),sumsq(5),rp(3,k),rp(1,k),rp(2,k)
200             format(i6,x,5(i3,x),i9,'/',i9,x,i9,x,2(i5,x))
endif
100        enddo
5                          enddo
4                       enddo
3                  enddo
2               enddo
1          enddo
end

index p1  p2  p3 p4  p5     product   sum sq.s   ratio   prime prime
-------------------------------------------------------------------------
1   3   5  11  19  23     72105/     1045        69     3    23
2   3   5  11  19  43    134805/     2365        57     3    19
3   3   5  41  73  89   3995655/    14965       267     3    89
4   3   5  67 131 149  19616595/    43885       447     3   149
5   3   5 109 173 229  64773795/    94285       687     3   229
6   3   5 131 163 251  80394045/   106765       753     3   251
7   3   5 151 239 317 171603195/   180445       951     3   317
8   3   7  11  17  29    113883/     1309        87     3    29
9   3   7  41 109 227  21303723/    65149       327     3   109
10   3   7 113 179 311 132102537/   141589       933     3   311
11   3  11  37 139 347  58892493/   141229       417     3   139
12   3  13  37 211 349 106261077/   167869       633     3   211
13   3  13  43 271 331 150428577/   185029       813     3   271
14   3  13  71 383 449 476176623/   353509      1347     3   449
15   3  13 109 157 431 287652417/   222469      1293     3   431
16   3  17  19  23  79   1760673/     7429       237     3    79
17   3  17  23  61 379  27118587/   148189       183     3    61
18   3  19  53 467 499 703992693/   470269      1497     3   499
19   3  23  41  43 191  23234577/    40549       573     3   191
20   3  31  41 131 383 191309649/   166501      1149     3   383
21   3 137 157 359 409 884629345/   339589      2605     5   521
22   5   7  19  59  89   3491915/    11837       295     5    59
23   5   7  43 113 139  23639035/    34013       695     5   139
24   5   7  59 109 227  51094295/    66965       763     7   109
25   5   7  79 179 223 110370505/    88085      1253     7   179
26   5   7  83 239 433 300629735/   251573      1195     5   239
27   5  11  17  37  41   1418395/     3485       407    11    37
28   5  11  19  37  67   2590555/     6365       407    11    37
29   5  11  41  47 131  13884035/    21197       655     5   131
30   5  11  43  67  89  14102495/    14405       979    11    89
31   5  13  19  41  43   2177305/     4085       533    13    41
32   5  13  61 139 157  86528195/    47885      1807    13   139
33   5  17  23  31  41   2484805/     3485       713    23    31
34   5  17  29  53  61   7969345/     7685      1037    17    61
35   5  17  37 311 337 329618015/   211973      1555     5   311
36   5  17  61  79 367 150328705/   144965      1037    17    61
37   5  17  79 139 401 374287385/   186677      2005     5   401
38   5  17  89  97 401 294255805/   178445      1649    17    97
39   5  19  23  31  67   4538245/     6365       713    23    31
40   5  19  23  47  71   7291345/     8165       893    19    47
41   5  19  31  47 127  17578705/    19685       893    19    47
42   5  19  31 113 229  76207765/    66557      1145     5   229
43   5  19  43  79 163  52602545/    35045      1501    19    79
44   5  19  53 101 197 100181395/    52205      1919    19   101
45   5  19  61  67 307 119197355/   102845      1159    19    61
46   5  19  61  73 337 142562795/   123005      1159    19    61
47   5  19  71 137 263 243029095/    93365      2603    19   137
48   5  19  83 131 173 178697755/    54365      3287    19   173
49   5  19 101 227 293 638173045/   147965      4313    19   227
50   5  19 107 227 241 556096655/   121445      4579    19   241
51   5  23  29  53  59  10428545/     7685      1357    23    59
52   5  23  31  41  47   6869755/     5405      1271    31    41
53   5  23  31  67  79  18869545/    12245      1541    23    67
54   5  23  59  61 277 114646145/    84485      1357    23    59
55   5  23  59  79 367 196717505/   144965      1357    23    59
56   5  23  67 139 149 159578255/    46565      3427    23   149
57   5  23 103 149 439 774793295/   226085      3427    23   149
58   5  29  37  47 101  25467655/    14645      1739    37    47
59   5  29  37  61  73  23890345/    11285      2117    29    73
60   5  29  47  73 191  95021545/    44885      2117    29    73
61   5  29  59 107 409 374392465/   183077      2045     5   409
62   5  29  97 199 337 943241095/   163445      5771    29   199
63   5  31  47  53  79  30502295/    12245      2491    47    53
64   5  31  53 101 113  93757795/    26765      3503    31   113
65   5  37  41  61  67  30999895/    11285      2747    41    67
66   5  37  41  79 137  82092455/    28085      2923    37    79
67   5  37  43  71 109  61563745/    20165      3053    43    71
68   5  41  47  67 191 123299095/    44885      2747    41    67
69   5  41  53 113 149 182934005/    39485      4633    41   113
70   5  41  71 157 167 381617545/    59285      6437    41   157
71   5  41  89 113 167 344301395/    50285      6847    41   167
72   5  43  53 101 109 125447555/    26765      4687    43   109
73   5  43  59 127 131 211040345/    38645      5461    43   127
74   5  43  89 199 233 887232545/   103685      8557    43   199
75   5  43 107 131 199 599717345/    70085      8557    43   199
76   5  47  59  73 251 254048395/    74045      3431    47    73
77   5  47  59  83 109 125436655/    24485      5123    47   109
78   5  47  61 107 229 351250505/    69845      5029    47   107
79   5  47  83 179 251 876340145/   104165      8413    47   179
80   5  47  89 137 179 512898545/    60965      8413    47   179
81   5  53  71  97 149 271933195/    39485      6887    71    97
82   5  53  79 173 199 720729245/    78605      9169    53   173
83   5  53  83  89 401 784979555/   178445      4399    53    83
84   5  59  67 113 179 399786655/    52805      7571    67   113
85   5  59  71  83 227 394624745/    66965      5893    71    83
86   5  59  73  97 131 273645245/    35405      7729    59   131
87   5  61  83 131 163 540551195/    54365      9943    61   163
88   5  67  79 103 139 378899405/    40685      9313    67   139
89   5  67 101 107 211 763892795/    70685     10807   101   107
90   5  71  73 151 193 755240845/    70445     10721    71   151
91   5  71  79 103 137 395742995/    40685      9727    71   137
92   5  71 101 127 167 760448695/    59285     12827   101   127
93   5  79 103 127 131 676876345/    50165     13493   103   131
94   5  89 107 137 151 985011505/    60965     16157   107   151
95   7  11  17  43  53   2983211/     5117       583    11    53
96   7  11  31  53 197  24922667/    42749       583    11    53
97   7  11  37 107 191  58225013/    49469      1177    11   107
98   7  11  59 193 197 172729403/    79709      2167    11   197
99   7  13  19  29  71   3560011/     6461       551    19    29
100   7  13  19  41 113   8010457/    15029       533    13    41
101   7  13  47  79 199  67238717/    48269      1393     7   199
102   7  17  23  37  61   6177409/     5957      1037    17    61
103   7  17  79 163 431 660448453/   218909      3017     7   431
104   7  19  23  97 179  53113417/    42389      1253     7   179
105   7  19  23 181 337 186589823/   147269      1267     7   181
106   7  19  31  79 173  56349041/    37541      1501    19    79
107   7  23  37  61 109  39608093/    17549      2257    37    61
108   7  23  67 149 401 644512463/   188069      3427    23   149
109   7  29  41  43  89  31852121/    12341      2581    29    89
110   7  29  43  89 127  98663887/    26789      3683    29   127
111   7  29  61  71 127 111657511/    25781      4331    61    71
112   7  29  61 167 197 407388317/    71309      5713    29   197
113   7  29  79 197 251 792981539/   108941      7279    29   251
114   7  29 257 263 367 740629795/   270797      2735     5   547
115   7  31  37 103 191 157954517/    49469      3193    31   103
116   7  31  59  67 449 385152649/   210581      1829    31    59
117   7  31  59  73 491 458897929/   250901      1829    31    59
118   7  31  89 163 257 809040883/   101549      7967    31   257
119   7  37  73  79 191 285287723/    49469      5767    73    79
120   7  37  73 107 191 386402359/    54677      7067    37   191
121   7  37  79 173 241 853080473/    95669      8917    37   241
122   7  41  43  61  71  53448871/    12341      4331    61    71
123   7  41  53  67 101 102932837/    19229      5353    53   101
124   7  47  59  61 103 121959313/    20069      6077    59   103
125   7  47  59 131 229 582310589/    75341      7729    59   131
126   7  53  59 127 157 436444771/    47117      9263    59   157
127   7  53  59 167 199 727437137/    73829      9853    59   167
128   7  53  73 127 151 519370691/    47117     11023    73   151
129   7  59  73  97 109 318765377/    30149     10573    97   109
130   7  73  89 107 173 841861769/    54677     15397    89   173
131  11  13  17  43  61   6376513/     6149      1037    17    61
132  11  13  17  97 107  25231349/    21437      1177    11   107
133  11  13  19  29 373  29389789/   140621       209    11    19
134  11  13  23  43  59   8344193/     6149      1357    23    59
135  11  13  23 127 223  93147769/    66677      1397    11   127
136  11  13  29  37 107  16417973/    13949      1177    11   107
137  11  13  29 163 277 187241197/   104429      1793    11   163
138  11  13  29 181 229 171889003/    86333      1991    11   181
139  11  13  37 197 233 242862191/    94757      2563    11   233
140  11  13  41 181 457 484969771/   243581      1991    11   181
141  11  17  23  61 233  61130113/    58949      1037    17    61
142  11  17  29  47  73  18606313/     8789      2117    29    73
143  11  17  37  73 197  99502139/    45917      2167    11   197
144  11  17  41  47  67  24143383/     8789      2747    41    67
145  11  17  41  53 179  72736829/    36941      1969    11   179
146  11  17  97 127 331 762509143/   135509      5627    17   331
147  11  19  29  37  71  15922247/     7733      2059    29    71
148  11  19  43  61 151  82779257/    28853      2869    19   151
149  11  23  41  71 157 115627831/    32021      3611    23   157
150  11  23  61 107 113 186600403/    28589      6527    61   107
151  11  23  71 101 137 248554031/    34661      7171    71   101
152  11  29  37 181 283 604585069/   115181      5249    29   181
153  11  29  47 233 251 876835619/   120461      7279    29   251
154  11  29  67 109 251 584743907/    80333      7279    29   251
155  11  29  73 137 179 571067101/    57101     10001    73   137
156  11  31  43  61 149 133272007/    28853      4619    31   149
157  11  31  47 109 379 662091397/   158813      4169    11   379
158  11  31  83 127 241 866269921/    82181     10541    83   127
159  11  37  43  79  89 123049531/    17501      7031    79    89
160  11  37  61 139 179 617720587/    56573     10919    61   179
161  11  37  67  97 109 288315137/    27269     10573    97   109
162  11  37  79 163 179 938128081/    66341     14141    79   179
163  11  47  61  89 179 502415947/    46013     10919    61   179
164  11  47  61 113 199 709172519/    58421     12139    61   199
165  11  53  59 107 211 776581069/    62381     12449    59   211
166  13  17  19  61 227  58143553/    56069      1037    17    61
167  13  17  31  79 383 207290707/   154349      1343    17    79
168  13  17  31  97 103  68448341/    21437      3193    31   103
169  13  17  37  97 101  80110069/    21437      3737    37   101
170  13  17  71 103 281 454144613/    95069      4777    17   281
171  13  17  73  79  97 123627179/    21437      5767    73    79
172  13  19  23  59 227  76085633/    56069      1357    23    59
173  13  19  37 101 191 176300449/    48581      3629    19   191
174  13  19  41 107 113 122445557/    26429      4633    41   113
175  13  19  47  73 239 202542223/    65189      3107    13   239
176  13  19  61  89 179 240032377/    44213      5429    61    89
177  13  19  67 107 277 490495811/    93197      5263    19   277
178  13  19  71  97 107 182016523/    26429      6887    71    97
179  13  23  31  37  79  27093287/     9269      2923    37    79
180  13  23  43  71 271 247381537/    81029      3053    43    71
181  13  23  59 113 223 444535559/    66677      6667    59   113
182  13  23  67 131 151 396272773/    45149      8777    67   131
183  13  23 101 107 151 487925243/    45149     10807   101   107
184  13  29  31  37 103  44539157/    13949      3193    31   103
185  13  29  37  73  79  80443883/    13949      5767    73    79
186  13  29  41  97 199 298366471/    51701      5771    29   199
187  13  29  47  79 197 275760797/    48269      5713    29   197
188  13  29  61  71 349 569842663/   131573      4331    61    71
189  13  31  47  61 109 125938709/    18941      6649    61   109
190  13  31  53  61 383 499010317/   154349      3233    53    61
191  13  31  79 167 179 951703441/    67301     14141    79   179
192  13  41  43 103 409 965508713/   181589      5317    13   409
193  13  47  79  83 181 725145187/    48269     15023    83   181
194  17  19  29 241 281 634342607/   138533      4579    19   241
195  17  19  67 131 223 632198533/    72029      8777    67   131
196  17  19 101 107 223 778417403/    72029     10807   101   107
197  17  23  41 107 167 286457939/    41837      6847    41   167
198  17  23  41 113 347 628591541/   135677      4633    41   113
199  17  23  59  83 109 208705243/    23069      9047    83   109
200  17  23  71  97 347 934407499/   135677      6887    71    97

Edited on March 17, 2023, 11:42 pm
 Posted by Steven Lord on 2022-01-12 10:38:08

 Search: Search body:
Forums (0)