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Additional solutions, please (Posted on 2016-10-03) Difficulty: 3 of 5
The equation
x^2+3*y^2=x*z
has a trivial solution (not necessarily in integers) (x,y,z)=(k,0,k) for any positive k.

List all non-trivial integer triplets (x, y, z) satisfying the above equation, given z is an integer between 2000 and 3000.

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Solution computer solution | Comment 1 of 3
DefDbl A-Z
Dim crlf$


Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 Open "additional solutions please.txt" For Output As #2
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)
 
 For z = 2000 To 3000
   z2 = z * z
   y0 = Int(Sqr(z2 / 12))
   For y = -y0 To y0
    DoEvents
     disc = z2 - 12 * y * y
     sr = Int(Sqr(disc) + 0.5)
     If sr * sr = disc Then
       num1 = z + sr
       If num1 Mod 2 = 0 Then
         x = num1 / 2
         If y <> 0 Then
           Print #2, x & Str(y) & Str(z)
           If ct Mod 200 = 0 Then
             Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & Str(z) & crlf
           End If
           ct = ct + 1
         End If
         num2 = z - sr
         x = num2 / 2
         If x <> 0 Or y <> 0 Then
           Print #2, x & Str(y) & Str(z)
           If ct Mod 200 = 0 Then
             Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & Str(z) & crlf
           End If
           ct = ct + 1
         End If
       End If
     End If
   Next
 Next
 
 Close 2
 Text1.Text = Text1.Text & crlf & ct & " done"
  
End Sub

finds 6504 non-trivial solutions:
  x   y    z
1500-500 2000
500-500 2000
1500 500 2000
500 500 2000
1144-572 2002
858-572 2002
1408-528 2002
594-528 2002
1650-440 2002
352-440 2002
1848-308 2002
154-308 2002
1848 308 2002
154 308 2002
1650 440 2002
352 440 2002
1408 528 2002
594 528 2002
1144 572 2002
858 572 2002
1503-501 2004
501-501 2004
1503 501 2004
501 501 2004
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243-378 2007
1764 378 2007
243 378 2007
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502-502 2008
1506 502 2008
502 502 2008
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41-164 2009
1968 164 2009
41 164 2009
1148 574 2009
861 574 2009
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90-240 2010
1920 240 2010
90 240 2010
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1936 220 2011
75 220 2011
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1509 503 2012
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1617 462 2013
396 462 2013
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1696 424 2014
318 424 2014
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2000-100 2015
15-100 2015
2000 100 2015
15 100 2015
1860 310 2015
155 310 2015
1755 390 2015
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507-507 2028
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441-483 2028
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117-273 2028
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1872 312 2028
156 312 2028
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1-26 2029
2028 26 2029
1 26 2029
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1160 580 2030
870 580 2030
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508-508 2032
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2028-52 2032
4-52 2032
2028 52 2032
4 52 2032
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1375 550 2035
660 550 2035
1527-509 2036
509-509 2036
1527 509 2036
509 509 2036
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1164-582 2037
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2025-90 2037
12-90 2037
2028-78 2037
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510-510 2040
1530 510 2040
510 510 2040
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841-580 2041
1404-546 2041
637-546 2041
1849-344 2041
192-344 2041
1884-314 2041
157-314 2041
1884 314 2041
157 314 2041
1849 344 2041
192 344 2041
1404 546 2041
637 546 2041
1200 580 2041
841 580 2041
1944-252 2042
98-252 2042
1944 252 2042
98 252 2042
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961-589 2044
1168-584 2044
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1344-560 2044
700-560 2044
1369-555 2044
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1533-511 2044
511-511 2044
1681-451 2044
363-451 2044
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1875-325 2044
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1971-219 2044
73-219 2044
2023-119 2044
21-119 2044
2028-104 2044
16-104 2044
2028 104 2044
16 104 2044
2023 119 2044
21 119 2044
1971 219 2044
73 219 2044
1936 264 2044
108 264 2044
1875 325 2044
169 325 2044
1825 365 2044
219 365 2044
1701 441 2044
343 441 2044
1681 451 2044
363 451 2044
1533 511 2044
511 511 2044
1369 555 2044
675 555 2044
1344 560 2044
700 560 2044
1168 584 2044
876 584 2044
1083 589 2044
961 589 2044
1805-380 2045
240-380 2045
1805 380 2045
240 380 2045
1782-396 2046
264-396 2046
1782 396 2046
264 396 2046
1536-512 2048
512-512 2048
1536 512 2048
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1172-586 2051
879-586 2051
1172 586 2051
879 586 2051
1323-567 2052
729-567 2052
1539-513 2052
513-513 2052
1728-432 2052
324-432 2052
2025-135 2052
27-135 2052
2025 135 2052
27 135 2052
1728 432 2052
324 432 2052
1539 513 2052
513 513 2052
1323 567 2052
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2028-130 2053
25-130 2053
2028 130 2053
25 130 2053
1568-504 2054
486-504 2054
1896-316 2054
158-316 2054
1950-260 2054
104-260 2054
2048-64 2054
6-64 2054
2048 64 2054
6 64 2054
1950 260 2054
104 260 2054
1896 316 2054
158 316 2054
1568 504 2054
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1542-514 2056
514-514 2056
1542 514 2056
514 514 2056
1176-588 2058
882-588 2058
1458-540 2058
600-540 2058
2016-168 2058
42-168 2058
2016 168 2058
42 168 2058
1458 540 2058
600 540 2058
1176 588 2058
882 588 2058
1215-585 2060
845-585 2060
1545-515 2060
515-515 2060
1815-385 2060
245-385 2060
2000-200 2060
60-200 2060
2000 200 2060
60 200 2060
1815 385 2060
245 385 2060
1545 515 2060
515 515 2060
1215 585 2060
845 585 2060
1089-594 2061
972-594 2061
1089 594 2061
972 594 2061
1296-576 2064
768-576 2064
1548-516 2064
516-516 2064
1764-420 2064
300-420 2064
2028-156 2064
36-156 2064
2028 156 2064
36 156 2064
1764 420 2064
300 420 2064
1548 516 2064
516 516 2064
1296 576 2064
768 576 2064
1180-590 2065
885-590 2065
1180 590 2065
885 590 2065
1682-464 2066
384-464 2066
1682 464 2066
384 464 2066
1908-318 2067
159-318 2067
1908 318 2067
159 318 2067
1551-517 2068
517-517 2068
1551 517 2068
517 517 2068
1587-506 2071
484-506 2071
1744-436 2071
327-436 2071
1875-350 2071
196-350 2071
2052-114 2071
19-114 2071
2052 114 2071
19 114 2071
1875 350 2071
196 350 2071
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484 506 2071
1058-598 2072
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222-370 2072
1922-310 2072
150-310 2072
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74-222 2072
2048-128 2072
24-128 2072
2058-98 2072
14-98 2072
2058 98 2072
14 98 2072
2048 128 2072
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74 222 2072
1944 288 2072
128 288 2072
1922 310 2072
150 310 2072
1850 370 2072
222 370 2072
1734 442 2072
338 442 2072
1694 462 2072
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1554 518 2072
518 518 2072
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672 560 2072
1350 570 2072
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1184 592 2072
888 592 2072
1058 598 2072
1014 598 2072
2025-180 2073
48-180 2073
2025 180 2073
48 180 2073
1666-476 2074
408-476 2074
1666 476 2074
408 476 2074
1557-519 2076
519-519 2076
1557 519 2076
519 519 2076
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2004 334 2171
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2028 312 2172
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1917 426 2201
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2178 132 2202
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2187 108 2203
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1421 609 2204
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552-552 2208
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2040 340 2210
170 340 2210
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2112 264 2211
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2166 190 2216
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1127 644 2231
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2178 330 2328
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1620 630 2355
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590-590 2360
1770 590 2360
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  Posted by Charlie on 2016-10-03 18:07:32
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