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The equation
x^2+3*y^2=x*z
has a trivial solution (not necessarily in integers) (x,y,z)=(k,0,k) for any positive k.

List all non-trivial integer triplets (x, y, z) satisfying the above equation, given z is an integer between 2000 and 3000.

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 computer solution | Comment 1 of 3
DefDbl A-Z
Dim crlf\$

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""
crlf = Chr\$(13) + Chr\$(10)

For z = 2000 To 3000
z2 = z * z
y0 = Int(Sqr(z2 / 12))
For y = -y0 To y0
DoEvents
disc = z2 - 12 * y * y
sr = Int(Sqr(disc) + 0.5)
If sr * sr = disc Then
num1 = z + sr
If num1 Mod 2 = 0 Then
x = num1 / 2
If y <> 0 Then
Print #2, x & Str(y) & Str(z)
If ct Mod 200 = 0 Then
Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & Str(z) & crlf
End If
ct = ct + 1
End If
num2 = z - sr
x = num2 / 2
If x <> 0 Or y <> 0 Then
Print #2, x & Str(y) & Str(z)
If ct Mod 200 = 0 Then
Text1.Text = Text1.Text & x & Str(y) & Str(z) & crlf
End If
ct = ct + 1
End If
End If
End If
Next
Next

Close 2
Text1.Text = Text1.Text & crlf & ct & " done"

End Sub

finds 6504 non-trivial solutions:
x   y    z
1500-500 2000
500-500 2000
1500 500 2000
500 500 2000
1144-572 2002
858-572 2002
1408-528 2002
594-528 2002
1650-440 2002
352-440 2002
1848-308 2002
154-308 2002
1848 308 2002
154 308 2002
1650 440 2002
352 440 2002
1408 528 2002
594 528 2002
1144 572 2002
858 572 2002
1503-501 2004
501-501 2004
1503 501 2004
501 501 2004
1764-378 2007
243-378 2007
1764 378 2007
243 378 2007
1506-502 2008
502-502 2008
1506 502 2008
502 502 2008
1148-574 2009
861-574 2009
1968-164 2009
41-164 2009
1968 164 2009
41 164 2009
1148 574 2009
861 574 2009
1920-240 2010
90-240 2010
1920 240 2010
90 240 2010
1936-220 2011
75-220 2011
1936 220 2011
75 220 2011
1509-503 2012
503-503 2012
1509 503 2012
503 503 2012
1617-462 2013
396-462 2013
1617 462 2013
396 462 2013
1696-424 2014
318-424 2014
1696 424 2014
318 424 2014
1280-560 2015
735-560 2015
1755-390 2015
260-390 2015
1860-310 2015
155-310 2015
2000-100 2015
15-100 2015
2000 100 2015
15 100 2015
1860 310 2015
155 310 2015
1755 390 2015
260 390 2015
1280 560 2015
735 560 2015
1152-576 2016
864-576 2016
1512-504 2016
504-504 2016
1800-360 2016
216-360 2016
1944-216 2016
72-216 2016
1944 216 2016
72 216 2016
1800 360 2016
216 360 2016
1512 504 2016
504 504 2016
1152 576 2016
864 576 2016
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289-408 2017
1728 408 2017
289 408 2017
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96-248 2018
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96 248 2018
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1875 300 2019
144 300 2019
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505-505 2020
1515 505 2020
505 505 2020
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1269 564 2021
752 564 2021
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1156 578 2023
867 578 2023
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506-506 2024
1518 506 2024
506 506 2024
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975-585 2028
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576-528 2028
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507-507 2028
1587-483 2028
441-483 2028
1872-312 2028
156-312 2028
1911-273 2028
117-273 2028
2025-45 2028
3-45 2028
2025 45 2028
3 45 2028
1911 273 2028
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1872 312 2028
156 312 2028
1587 483 2028
441 483 2028
1521 507 2028
507 507 2028
1452 528 2028
576 528 2028
1053 585 2028
975 585 2028
2028-26 2029
1-26 2029
2028 26 2029
1 26 2029
1160-580 2030
870-580 2030
1160 580 2030
870 580 2030
1444-532 2032
588-532 2032
1524-508 2032
508-508 2032
1600-480 2032
432-480 2032
2028-52 2032
4-52 2032
2028 52 2032
4 52 2032
1600 480 2032
432 480 2032
1524 508 2032
508 508 2032
1444 532 2032
588 532 2032
1712-428 2033
321-428 2033
1712 428 2033
321 428 2033
1375-550 2035
660-550 2035
1375 550 2035
660 550 2035
1527-509 2036
509-509 2036
1527 509 2036
509 509 2036
1029-588 2037
1008-588 2037
1164-582 2037
873-582 2037
2025-90 2037
12-90 2037
2028-78 2037
9-78 2037
2028 78 2037
9 78 2037
2025 90 2037
12 90 2037
1164 582 2037
873 582 2037
1029 588 2037
1008 588 2037
1530-510 2040
510-510 2040
1530 510 2040
510 510 2040
1200-580 2041
841-580 2041
1404-546 2041
637-546 2041
1849-344 2041
192-344 2041
1884-314 2041
157-314 2041
1884 314 2041
157 314 2041
1849 344 2041
192 344 2041
1404 546 2041
637 546 2041
1200 580 2041
841 580 2041
1944-252 2042
98-252 2042
1944 252 2042
98 252 2042
1083-589 2044
961-589 2044
1168-584 2044
876-584 2044
1344-560 2044
700-560 2044
1369-555 2044
675-555 2044
1533-511 2044
511-511 2044
1681-451 2044
363-451 2044
1701-441 2044
343-441 2044
1825-365 2044
219-365 2044
1875-325 2044
169-325 2044
1936-264 2044
108-264 2044
1971-219 2044
73-219 2044
2023-119 2044
21-119 2044
2028-104 2044
16-104 2044
2028 104 2044
16 104 2044
2023 119 2044
21 119 2044
1971 219 2044
73 219 2044
1936 264 2044
108 264 2044
1875 325 2044
169 325 2044
1825 365 2044
219 365 2044
1701 441 2044
343 441 2044
1681 451 2044
363 451 2044
1533 511 2044
511 511 2044
1369 555 2044
675 555 2044
1344 560 2044
700 560 2044
1168 584 2044
876 584 2044
1083 589 2044
961 589 2044
1805-380 2045
240-380 2045
1805 380 2045
240 380 2045
1782-396 2046
264-396 2046
1782 396 2046
264 396 2046
1536-512 2048
512-512 2048
1536 512 2048
512 512 2048
1172-586 2051
879-586 2051
1172 586 2051
879 586 2051
1323-567 2052
729-567 2052
1539-513 2052
513-513 2052
1728-432 2052
324-432 2052
2025-135 2052
27-135 2052
2025 135 2052
27 135 2052
1728 432 2052
324 432 2052
1539 513 2052
513 513 2052
1323 567 2052
729 567 2052
2028-130 2053
25-130 2053
2028 130 2053
25 130 2053
1568-504 2054
486-504 2054
1896-316 2054
158-316 2054
1950-260 2054
104-260 2054
2048-64 2054
6-64 2054
2048 64 2054
6 64 2054
1950 260 2054
104 260 2054
1896 316 2054
158 316 2054
1568 504 2054
486 504 2054
1542-514 2056
514-514 2056
1542 514 2056
514 514 2056
1176-588 2058
882-588 2058
1458-540 2058
600-540 2058
2016-168 2058
42-168 2058
2016 168 2058
42 168 2058
1458 540 2058
600 540 2058
1176 588 2058
882 588 2058
1215-585 2060
845-585 2060
1545-515 2060
515-515 2060
1815-385 2060
245-385 2060
2000-200 2060
60-200 2060
2000 200 2060
60 200 2060
1815 385 2060
245 385 2060
1545 515 2060
515 515 2060
1215 585 2060
845 585 2060
1089-594 2061
972-594 2061
1089 594 2061
972 594 2061
1296-576 2064
768-576 2064
1548-516 2064
516-516 2064
1764-420 2064
300-420 2064
2028-156 2064
36-156 2064
2028 156 2064
36 156 2064
1764 420 2064
300 420 2064
1548 516 2064
516 516 2064
1296 576 2064
768 576 2064
1180-590 2065
885-590 2065
1180 590 2065
885 590 2065
1682-464 2066
384-464 2066
1682 464 2066
384 464 2066
1908-318 2067
159-318 2067
1908 318 2067
159 318 2067
1551-517 2068
517-517 2068
1551 517 2068
517 517 2068
1587-506 2071
484-506 2071
1744-436 2071
327-436 2071
1875-350 2071
196-350 2071
2052-114 2071
19-114 2071
2052 114 2071
19 114 2071
1875 350 2071
196 350 2071
1744 436 2071
327 436 2071
1587 506 2071
484 506 2071
1058-598 2072
1014-598 2072
1184-592 2072
888-592 2072
1350-570 2072
722-570 2072
1400-560 2072
672-560 2072
1554-518 2072
518-518 2072
1694-462 2072
378-462 2072
1734-442 2072
338-442 2072
1850-370 2072
222-370 2072
1922-310 2072
150-310 2072
1944-288 2072
128-288 2072
1998-222 2072
74-222 2072
2048-128 2072
24-128 2072
2058-98 2072
14-98 2072
2058 98 2072
14 98 2072
2048 128 2072
24 128 2072
1998 222 2072
74 222 2072
1944 288 2072
128 288 2072
1922 310 2072
150 310 2072
1850 370 2072
222 370 2072
1734 442 2072
338 442 2072
1694 462 2072
378 462 2072
1554 518 2072
518 518 2072
1400 560 2072
672 560 2072
1350 570 2072
722 570 2072
1184 592 2072
888 592 2072
1058 598 2072
1014 598 2072
2025-180 2073
48-180 2073
2025 180 2073
48 180 2073
1666-476 2074
408-476 2074
1666 476 2074
408 476 2074
1557-519 2076
519-519 2076
1557 519 2076
519 519 2076
1452-550 2077
625-550 2077
1809-402 2077
268-402 2077
1984-248 2077
93-248 2077
2028-182 2077
49-182 2077
2028 182 2077
49 182 2077
1984 248 2077
93 248 2077
1809 402 2077
268 402 2077
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2004 334 2171
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2028 312 2172
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550-550 2200
1650 550 2200
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1917 426 2201
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2178 132 2202
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2187 108 2203
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2040 340 2210
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2166 190 2216
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2205 105 2220
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2304 144 2331
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 Posted by Charlie on 2016-10-03 18:07:32

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