All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 One, Two, Three, Floor Integral 2 (Posted on 2022-09-20)
Evaluate:
```n
∫ ⌊x*⌊x*⌊x⌋⌋⌋ dx
0
```
where ⌊p⌋ is the floor function. ie. the greatest integer ≤ p.

For each of n=1, 2, 3, 4.

 No Solution Yet Submitted by Jer Rating: 4.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 computer solution; computer varification Comment 1 of 1
Using

clearvars,clc
prev=0;
for x=1:.0000001:5
v=floor(x * floor(x * floor(x)));
if v~=prev
fprintf('%7.5f %4d\n',x,v)
end
prev=v;
end

to explore the domain (and a little beyond):

```  x     f(x) beginning at         that x value
1.00000    12.00000    82.25000    92.50000   122.60000   132.80000   143.00000   273.11111   283.22222   293.33333   333.40000   343.50000   353.60000   363.66667   403.72727   413.81818   423.90909   434.00000   644.06250   654.12500   664.18750   674.25000   724.29412   734.35294   744.41176   754.47059   764.50000   814.55556   824.61111   834.66667   844.72222   854.75000   904.78947   914.84211   924.89474   934.94737   945.00000  125```

The breaks in value of the function itself appear to be at fractions that are multiples of 1/4, 1/10, 1/9 and 1/11 (up to x=4). Therefore doing this in symbolic (exact) values should be done in increments of 1/1980 to hit all these exactly:

tot=sym(0);
prev=sym(0);prevx=sym(0);
for u=1:4*1980
x=sym(u/1980);
v=floor(x * floor(x * floor(x)));
if v~=prev
incr=(x-prevx)*(prev);
tot=tot+incr;
%    disp([x v incr tot eval(tot)])
fprintf('%7s %3s %6s %12s %17.13f\n',x, v, incr, tot, eval(tot))
prev=v; prevx=x;
end
end

resulting in the following table:

```        new  prev f(x)     accumulated sum   x    f(x)  * delta x  exact       decimal
1   1      0            0   0.0000000000000      2   8      1            1   1.0000000000000    9/4   9      2            3   3.0000000000000    5/2  12    9/4         21/4   5.2500000000000   13/5  13    6/5       129/20   6.4500000000000   14/5  14   13/5       181/20   9.0500000000000      3  27   14/5       237/20  11.8500000000000   28/9  28      3       297/20  14.8500000000000   29/9  29   28/9     3233/180  17.9611111111111   10/3  33   29/9      1271/60  21.1833333333333   17/5  34   11/5      1403/60  23.3833333333333    7/2  35   17/5      1607/60  26.7833333333333   18/5  36    7/2      1817/60  30.2833333333333   11/3  40   12/5      1961/60  32.6833333333333  41/11  41  80/33    23171/660  35.1075757575758  42/11  42  41/11    25631/660  38.8348484848485  43/11  43  42/11    28151/660  42.6530303030303      4  64  43/11    30731/660  46.5621212121212```

The requested integrals are therefore

```      n           integral               exact     decimal
1           0   0.0000000000000      2           1   1.0000000000000      3      237/20  11.8500000000000      4   30731/660  46.5621212121212```

Wolfram Alpha verifies

integral_0^4 floor(x floor(x floor(x))) dx = 30731/660˜46.5621

 Posted by Charlie on 2022-09-20 10:54:05

 Search: Search body:
Forums (1)