All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 The tangent formula (Posted on 2023-09-06)
In triangle ABC with tan(B/2) + tan(C/2) = 1, prove that tan(A) ≥ 24/7.

 No Solution Yet Submitted by Danish Ahmed Khan Rating: 4.0000 (1 votes)

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 heuristic "proof" Comment 1 of 1
clearvars,clc
for b=1:179
tb=tand(b/2);
c=2*atand(1-tb);
if c<0
c=c+180;
end
a=180-b-c;
if a>0
ta=tand(a);
fprintf('%3d %9.6f %11.7f %11.7f %11.7f\n',b,c,a,ta,ta*7);
end
end

disp(' ')

for b=52:.01:54
tb=tand(b/2);
c=2*atand(1-tb);
if c<0
c=c+180;
end
a=180-b-c;
if a>0
ta=tand(a);
fprintf('%5.2f %9.6f %11.7f %11.7f %11.7f\n',b,c,a,ta,ta*7);
end
end

To show tan(A)*7 doesn't dip below 24:

```  b°    c           a         tan(a)   tan(a)*7
1 89.497799  89.5022008 115.0952818 805.6669723  2 88.991119  89.0088808  57.8034021 404.6238147  3 88.479842  88.5201581  38.7088920 270.9622438  4 87.963846  88.0361542  29.1638679 204.1470753  5 87.443007  87.5569929  23.4387586 164.0713099  6 86.917198  87.0828015  19.6237115 137.3659806  7 86.386290  86.6137102  16.9002229 118.3015602  8 85.850147  86.1498525  14.8590447 104.0133129  9 85.308635  85.6913653  13.2728207  92.9097448 10 84.761611  85.2383888  12.0051407  84.0359848 11 84.208933  84.7910668  10.9692017  76.7844116 12 83.650453  84.3495468  10.1071383  70.7499679 13 83.086020  83.9139803   9.3788932  65.6522527 14 82.515478  83.4845223   8.7558574  61.2910020 15 81.938668  83.0613322   8.2170541  57.5193787 16 81.355426  82.6445735   7.7467539  54.2272772 17 80.765586  82.2344139   7.3329317  51.3305221 18 80.168974  81.8310256   6.9662381  48.7636667 19 79.565414  81.4345855   6.6392951  46.4750656 20 78.954725  81.0452751   6.3462037  44.4234262 21 78.336719  80.6632809   6.0821922  42.5753452 22 77.711206  80.2887944   5.8433596  40.9035175 23 77.077988  79.9220122   5.6264874  39.3854117 24 76.436863  79.5631365   5.4288968  38.0022779 25 75.787625  79.2123749   5.2483419  36.7383930 26 75.130059  78.8699407   5.0829258  35.5804806 27 74.463947  78.5360530   4.9310372  34.5172601 28 73.789063  78.2109373   4.7912989  33.5390925 29 73.105175  77.8948249   4.6625285  32.6376996 30 72.412046  77.5879538   4.5437056  31.8059395 31 71.709431  77.2905686   4.4339466  31.0376265 32 70.997079  77.0029206   4.3324834  30.3273840 33 70.274732  76.7252683   4.2386464  29.6705250 34 69.542123  76.4578772   4.1518506  29.0629540 35 68.798980  76.2010204   4.0715837  28.5010861 36 68.045022  75.9549785   3.9973971  27.9817797 37 67.279960  75.7200399   3.9288972  27.5022803 38 66.503499  75.4965012   3.8657393  27.0601748 39 65.715333  75.2846671   3.8076216  26.6533515 40 64.915149  75.0848508   3.7542812  26.2799687 41 64.102626  74.8973740   3.7054895  25.9384265 42 63.277433  74.7225675   3.6610493  25.6273451 43 62.439229  74.5607709   3.6207922  25.3455455 44 61.587667  74.4123333   3.5845764  25.0920347 45 60.722387  74.2776132   3.5522847  24.8659932 46 59.843022  74.1569785   3.5238237  24.6667660 47 58.949193  74.0508071   3.4991221  24.4938549 48 58.040513  73.9594869   3.4781306  24.3469143 49 57.116584  73.8834158   3.4608212  24.2257487 50 56.176998  73.8230020   3.4471875  24.1303124 51 55.221336  73.7786641   3.4372445  24.0607116 52 54.249169  73.7508312   3.4310298  24.0172089 53 53.260057  73.7399428   3.4286043  24.0002299 54 52.253551  73.7464493   3.4300533  24.0103733 55 51.229189  73.7708115   3.4354890  24.0484233 56 50.186499  73.8135008   3.4450523  24.1153664 57 49.125001  73.8749993   3.4589159  24.2124113 58 48.044201  73.9557994   3.4772879  24.3410151 59 46.943596  74.0564041   3.5004163  24.5029141 60 45.822674  74.1773262   3.5285946  24.7001625 61 44.680912  74.3190884   3.5621685  24.9351794 62 43.517777  74.4822232   3.6015439  25.2108075 63 42.332728  74.6672719   3.6471978  25.5303845 64 41.125215  74.8747847   3.6996903  25.8978322 65 39.894680  75.1053197   3.7596810  26.3177672 66 38.640558  75.3594423   3.8279487  26.7956406 67 37.362275  75.6377247   3.9054162  27.3379137 68 36.059255  75.9407448   3.9931832  27.9522826 69 34.730915  76.2690850   4.0925668  28.6479676 70 33.376669  76.6233312   4.2051556  29.4360893 71 31.995928  77.0040717   4.3328807  30.3301647 72 30.588105  77.4118952   4.4781097  31.3467679 73 29.152610  77.8473896   4.6437751  32.5064257 74 27.688860  78.3111399   4.8335498  33.8348484 75 26.196274  78.8037262   5.0520934  35.3646539 76 24.674278  79.3257215   5.3054043  37.1378304 77 23.122311  79.8776894   5.6013338  39.2093368 78 21.539819  80.4601811   5.9503576  41.6525035 79 19.926268  81.0737324   6.3667684  44.5673787 80 18.281139  81.7188610   6.8705834  48.0940840 81 16.603937  82.3960626   7.4907247  52.4350730 82 14.894192  83.1058076   8.2705836  57.8940852 83 13.151463  83.8485367   9.2783555  64.9484884 84 11.375343  84.6246572  10.6277093  74.3939650 85  9.565462  85.4345382  12.5232601  87.6628210 86  7.721494  86.2785061  15.3742516 107.6197609 87  5.843160  87.1568397  20.1356016 140.9492112 88  3.930235  88.0697650  29.6720881 207.7046167 89  1.982550  89.0174502  58.3076452 408.1535162 90  0.000000  90.0000000         Inf         Inf```

`52.00 54.249169  73.7508312   3.4310298  24.017208952.01 54.239362  73.7506377   3.4309867  24.016907052.02 54.229554  73.7504459   3.4309440  24.016607752.03 54.219744  73.7502558   3.4309016  24.016311152.04 54.209933  73.7500673   3.4308596  24.016017152.05 54.200119  73.7498806   3.4308180  24.015725852.06 54.190304  73.7496956   3.4307767  24.015437152.07 54.180488  73.7495123   3.4307359  24.015151152.08 54.170669  73.7493306   3.4306954  24.014867752.09 54.160849  73.7491507   3.4306553  24.014587052.10 54.151028  73.7489725   3.4306156  24.014309052.11 54.141204  73.7487960   3.4305762  24.014033652.12 54.131379  73.7486211   3.4305373  24.013760852.13 54.121552  73.7484480   3.4304987  24.013490752.14 54.111723  73.7482766   3.4304605  24.013223352.15 54.101893  73.7481068   3.4304227  24.012958652.16 54.092061  73.7479388   3.4303852  24.012696452.17 54.082228  73.7477725   3.4303481  24.012437052.18 54.072392  73.7476078   3.4303115  24.012180252.19 54.062555  73.7474449   3.4302752  24.011926152.20 54.052716  73.7472837   3.4302392  24.011674652.21 54.042876  73.7471242   3.4302037  24.011425852.22 54.033034  73.7469664   3.4301685  24.011179752.23 54.023190  73.7468102   3.4301337  24.010936252.24 54.013344  73.7466558   3.4300993  24.010695452.25 54.003497  73.7465031   3.4300653  24.010457252.26 53.993648  73.7463521   3.4300317  24.010221752.27 53.983797  73.7462028   3.4299984  24.009988952.28 53.973945  73.7460553   3.4299655  24.009758752.29 53.964091  73.7459094   3.4299330  24.009531352.30 53.954235  73.7457652   3.4299009  24.009306452.31 53.944377  73.7456227   3.4298692  24.009084352.32 53.934518  73.7454820   3.4298378  24.008864852.33 53.924657  73.7453430   3.4298069  24.008648052.34 53.914794  73.7452056   3.4297763  24.008433852.35 53.904930  73.7450700   3.4297460  24.008222352.36 53.895064  73.7449361   3.4297162  24.008013552.37 53.885196  73.7448039   3.4296868  24.007807352.38 53.875327  73.7446734   3.4296577  24.007603952.39 53.865455  73.7445446   3.4296290  24.007403152.40 53.855582  73.7444175   3.4296007  24.007204952.41 53.845708  73.7442922   3.4295728  24.007009552.42 53.835831  73.7441685   3.4295452  24.006816752.43 53.825953  73.7440466   3.4295181  24.006626652.44 53.816074  73.7439264   3.4294913  24.006439152.45 53.806192  73.7438078   3.4294649  24.006254452.46 53.796309  73.7436911   3.4294389  24.006072352.47 53.786424  73.7435760   3.4294133  24.005892952.48 53.776537  73.7434626   3.4293880  24.005716252.49 53.766649  73.7433510   3.4293632  24.005542152.50 53.756759  73.7432410   3.4293387  24.005370752.51 53.746867  73.7431328   3.4293146  24.005202052.52 53.736974  73.7430263   3.4292909  24.005036052.53 53.727078  73.7429216   3.4292675  24.004872752.54 53.717182  73.7428185   3.4292446  24.004712052.55 53.707283  73.7427172   3.4292220  24.004554052.56 53.697382  73.7426175   3.4291998  24.004398752.57 53.687480  73.7425196   3.4291780  24.004246152.58 53.677577  73.7424234   3.4291566  24.004096252.59 53.667671  73.7423290   3.4291356  24.003948952.60 53.657764  73.7422362   3.4291149  24.003804452.61 53.647855  73.7421452   3.4290946  24.003662552.62 53.637944  73.7420559   3.4290748  24.003523352.63 53.628032  73.7419683   3.4290553  24.003386852.64 53.618118  73.7418825   3.4290361  24.003253052.65 53.608202  73.7417984   3.4290174  24.003121852.66 53.598284  73.7417160   3.4289991  24.002993452.67 53.588365  73.7416353   3.4289811  24.002867652.68 53.578444  73.7415563   3.4289635  24.002744552.69 53.568521  73.7414791   3.4289463  24.002624252.70 53.558596  73.7414036   3.4289295  24.002506552.71 53.548670  73.7413298   3.4289131  24.002391552.72 53.538742  73.7412577   3.4288970  24.002279252.73 53.528813  73.7411874   3.4288814  24.002169552.74 53.518881  73.7411188   3.4288661  24.002062652.75 53.508948  73.7410519   3.4288512  24.001958452.76 53.499013  73.7409868   3.4288367  24.001856952.77 53.489077  73.7409234   3.4288226  24.001758052.78 53.479138  73.7408617   3.4288088  24.001661952.79 53.469198  73.7408017   3.4287955  24.001568452.80 53.459257  73.7407435   3.4287825  24.001477752.81 53.449313  73.7406870   3.4287699  24.001389652.82 53.439368  73.7406322   3.4287578  24.001304352.83 53.429421  73.7405792   3.4287459  24.001221652.84 53.419472  73.7405279   3.4287345  24.001141652.85 53.409522  73.7404783   3.4287235  24.001064452.86 53.399570  73.7404304   3.4287128  24.000989852.87 53.389616  73.7403843   3.4287026  24.000918052.88 53.379660  73.7403400   3.4286927  24.000848852.89 53.369703  73.7402973   3.4286832  24.000782452.90 53.359744  73.7402564   3.4286741  24.000718652.91 53.349783  73.7402172   3.4286654  24.000657652.92 53.339820  73.7401798   3.4286570  24.000599252.93 53.329856  73.7401441   3.4286491  24.000543652.94 53.319890  73.7401101   3.4286415  24.000490652.95 53.309922  73.7400779   3.4286343  24.000440452.96 53.299953  73.7400474   3.4286276  24.000392952.97 53.289981  73.7400187   3.4286212  24.000348152.98 53.280008  73.7399917   3.4286151  24.000306052.99 53.270034  73.7399664   3.4286095  24.000266653.00 53.260057  73.7399428   3.4286043  24.000229953.01 53.250079  73.7399210   3.4285994  24.000196053.02 53.240099  73.7399010   3.4285950  24.000164753.03 53.230117  73.7398827   3.4285909  24.000136253.04 53.220134  73.7398661   3.4285872  24.000110353.05 53.210149  73.7398512   3.4285839  24.000087253.06 53.200162  73.7398382   3.4285810  24.000066853.07 53.190173  73.7398268   3.4285784  24.000049153.08 53.180183  73.7398172   3.4285763  24.000034153.09 53.170191  73.7398093   3.4285746  24.000021953.10 53.160197  73.7398032   3.4285732  24.000012353.11 53.150201  73.7397988   3.4285722  24.000005553.12 53.140204  73.7397962   3.4285716  24.000001453.13 53.130205  73.7397953   3.4285714  24.0000000   min53.14 53.120204  73.7397961   3.4285716  24.000001353.15 53.110201  73.7397987   3.4285722  24.000005453.16 53.100197  73.7398031   3.4285732  24.000012253.17 53.090191  73.7398092   3.4285745  24.000021753.18 53.080183  73.7398170   3.4285763  24.000033953.19 53.070173  73.7398266   3.4285784  24.000048853.20 53.060162  73.7398380   3.4285809  24.000066553.21 53.050149  73.7398510   3.4285838  24.000086953.22 53.040134  73.7398659   3.4285871  24.000110053.23 53.030118  73.7398825   3.4285908  24.000135853.24 53.020099  73.7399008   3.4285949  24.000164453.25 53.010079  73.7399209   3.4285994  24.000195753.26 53.000057  73.7399427   3.4286042  24.000229753.27 52.990034  73.7399663   3.4286095  24.000266553.28 52.980008  73.7399916   3.4286151  24.000306053.29 52.969981  73.7400187   3.4286212  24.000348253.30 52.959952  73.7400476   3.4286276  24.000393153.31 52.949922  73.7400782   3.4286344  24.000440853.32 52.939889  73.7401105   3.4286416  24.000491253.33 52.929855  73.7401446   3.4286492  24.000544453.34 52.919820  73.7401805   3.4286572  24.000600253.35 52.909782  73.7402181   3.4286656  24.000658953.36 52.899743  73.7402574   3.4286743  24.000720253.37 52.889701  73.7402986   3.4286835  24.000784353.38 52.879659  73.7403415   3.4286930  24.000851153.39 52.869614  73.7403861   3.4287030  24.000920753.40 52.859568  73.7404325   3.4287133  24.000993053.41 52.849519  73.7404806   3.4287240  24.001068053.42 52.839469  73.7405305   3.4287351  24.001145853.43 52.829418  73.7405822   3.4287466  24.001226353.44 52.819364  73.7406356   3.4287585  24.001309653.45 52.809309  73.7406908   3.4287708  24.001395653.46 52.799252  73.7407478   3.4287835  24.001484453.47 52.789194  73.7408065   3.4287966  24.001575953.48 52.779133  73.7408669   3.4288100  24.001670153.49 52.769071  73.7409292   3.4288239  24.001767153.50 52.759007  73.7409932   3.4288381  24.001866853.51 52.748941  73.7410589   3.4288528  24.001969353.52 52.738874  73.7411264   3.4288678  24.002074553.53 52.728804  73.7411957   3.4288832  24.002182553.54 52.718733  73.7412668   3.4288990  24.002293253.55 52.708660  73.7413396   3.4289152  24.002406753.56 52.698586  73.7414141   3.4289319  24.002523053.57 52.688510  73.7414905   3.4289488  24.002641953.58 52.678431  73.7415686   3.4289662  24.002763753.59 52.668352  73.7416485   3.4289840  24.002888253.60 52.658270  73.7417301   3.4290022  24.003015453.61 52.648187  73.7418135   3.4290208  24.003145453.62 52.638101  73.7418987   3.4290397  24.003278253.63 52.628014  73.7419856   3.4290591  24.003413753.64 52.617926  73.7420743   3.4290788  24.003551953.65 52.607835  73.7421648   3.4290990  24.003693053.66 52.597743  73.7422570   3.4291195  24.003836853.67 52.587649  73.7423510   3.4291405  24.003983353.68 52.577553  73.7424468   3.4291618  24.004132653.69 52.567456  73.7425444   3.4291835  24.004284753.70 52.557356  73.7426437   3.4292056  24.004439553.71 52.547255  73.7427448   3.4292282  24.004597153.72 52.537152  73.7428477   3.4292511  24.004757553.73 52.527048  73.7429523   3.4292744  24.004920653.74 52.516941  73.7430587   3.4292981  24.005086553.75 52.506833  73.7431669   3.4293222  24.005255253.76 52.496723  73.7432769   3.4293467  24.005426653.77 52.486611  73.7433886   3.4293715  24.005600853.78 52.476498  73.7435021   3.4293968  24.005777753.79 52.466383  73.7436174   3.4294225  24.005957553.80 52.456266  73.7437345   3.4294486  24.006140053.81 52.446147  73.7438533   3.4294750  24.006325353.82 52.436026  73.7439739   3.4295019  24.006513353.83 52.425904  73.7440963   3.4295292  24.006704153.84 52.415780  73.7442205   3.4295568  24.006897753.85 52.405654  73.7443464   3.4295849  24.007094153.86 52.395526  73.7444742   3.4296133  24.007293353.87 52.385396  73.7446037   3.4296422  24.007495253.88 52.375265  73.7447349   3.4296714  24.007699953.89 52.365132  73.7448680   3.4297011  24.007907453.90 52.354997  73.7450029   3.4297311  24.008117653.91 52.344861  73.7451395   3.4297615  24.008330753.92 52.334722  73.7452779   3.4297924  24.008546553.93 52.324582  73.7454181   3.4298236  24.008765153.94 52.314440  73.7455600   3.4298552  24.008986553.95 52.304296  73.7457038   3.4298872  24.009210753.96 52.294151  73.7458493   3.4299197  24.009437653.97 52.284003  73.7459967   3.4299525  24.009667453.98 52.273854  73.7461458   3.4299857  24.009899953.99 52.263703  73.7462966   3.4300193  24.010135254.00 52.253551  73.7464493   3.4300533  24.0103733`
>>

 Posted by Charlie on 2023-09-06 08:53:09

 Search: Search body:
Forums (0)