Take a right triangle with integer sides A, B, & C.
(C need not be the hypotenuse.)

To side C attach another right triangle with integer sides C, D & E.

On this new triangle attach another right triangle to either side D or E. Continue the process of attaching a new right triangle to the previous; creating a chain of right triangles.

Three further rules:
1. No side length may be repeated.
2. No triangles may overlap.
3. No side may have length over 10000.

How many triangles can you make in this chain?

(In reply to Is 10000 too big? by Jer)

Here are the Pythagorean triples with numbers not exceeding 1000 (there are 881):

    3     4     5
    6     8    10
    5    12    13
    9    12    15
    8    15    17
   12    16    20
    7    24    25
   15    20    25
   10    24    26
   20    21    29
   18    24    30
   16    30    34
   21    28    35
   12    35    37
   15    36    39
   24    32    40
    9    40    41
   27    36    45
   14    48    50
   30    40    50
   24    45    51
   20    48    52
   28    45    53
   33    44    55
   40    42    58
   36    48    60
   11    60    61
   16    63    65
   25    60    65
   33    56    65
   39    52    65
   32    60    68
   42    56    70
   48    55    73
   24    70    74
   21    72    75
   45    60    75
   30    72    78
   48    64    80
   18    80    82
   13    84    85
   36    77    85
   40    75    85
   51    68    85
   60    63    87
   39    80    89
   54    72    90
   35    84    91
   57    76    95
   65    72    97
   28    96   100
   60    80   100
   20    99   101
   48    90   102
   40    96   104
   63    84   105
   56    90   106
   60    91   109
   66    88   110
   36   105   111
   15   112   113
   69    92   115
   80    84   116
   45   108   117
   56   105   119
   72    96   120
   22   120   122
   27   120   123
   35   120   125
   44   117   125
   75   100   125
   32   126   130
   50   120   130
   66   112   130
   78   104   130
   81   108   135
   64   120   136
   88   105   137
   84   112   140
   55   132   143
   17   144   145
   24   143   145
   87   116   145
  100   105   145
   96   110   146
   48   140   148
   51   140   149
   42   144   150
   90   120   150
   72   135   153
   93   124   155
   60   144   156
   85   132   157
   84   135   159
   96   128   160
   36   160   164
   99   132   165
   65   156   169
  119   120   169
   26   168   170
   72   154   170
   80   150   170
  102   136   170
   52   165   173
  120   126   174
   49   168   175
  105   140   175
   78   160   178
  108   144   180
   19   180   181
   70   168   182
   33   180   183
   57   176   185
   60   175   185
  104   153   185
  111   148   185
   88   165   187
  114   152   190
   95   168   193
  130   144   194
   48   189   195
   75   180   195
   99   168   195
  117   156   195
   28   195   197
   56   192   200
  120   160   200
   40   198   202
  140   147   203
   96   180   204
   45   200   205
   84   187   205
  123   164   205
  133   156   205
   80   192   208
  126   168   210
  112   180   212
  129   172   215
  120   182   218
  144   165   219
  132   176   220
   21   220   221
   85   204   221
  104   195   221
  140   171   221
   72   210   222
   63   216   225
  135   180   225
   30   224   226
   60   221   229
  138   184   230
  160   168   232
  105   208   233
   90   216   234
  141   188   235
  112   210   238
  144   192   240
  120   209   241
   44   240   244
  147   196   245
   54   240   246
   95   228   247
   70   240   250
   88   234   250
  150   200   250
   39   252   255
  108   231   255
  120   225   255
  153   204   255
   32   255   257
   84   245   259
   64   252   260
  100   240   260
  132   224   260
  156   208   260
  180   189   261
   23   264   265
   96   247   265
  140   225   265
  159   212   265
  117   240   267
   69   260   269
  162   216   270
  128   240   272
  105   252   273
  176   210   274
   77   264   275
  165   220   275
  115   252   277
  168   224   280
  160   231   281
  171   228   285
  110   264   286
   63   280   287
  136   255   289
  161   240   289
   34   288   290
   48   286   290
  174   232   290
  200   210   290
  195   216   291
  192   220   292
   68   285   293
  177   236   295
   96   280   296
  102   280   298
  115   276   299
   84   288   300
  180   240   300
   60   297   303
   55   300   305
  136   273   305
  183   244   305
  207   224   305
  144   270   306
  186   248   310
  120   288   312
   25   312   313
  170   264   314
  189   252   315
   75   308   317
  168   270   318
  220   231   319
  192   256   320
  152   285   323
   36   323   325
   80   315   325
   91   312   325
  125   300   325
  165   280   325
  195   260   325
  204   253   325
  180   273   327
   72   320   328
  198   264   330
  108   315   333
  201   268   335
  175   288   337
  130   312   338
  238   240   338
   45   336   339
   52   336   340
  144   308   340
  160   300   340
  204   272   340
  207   276   345
  104   330   346
  240   252   348
  180   299   349
   98   336   350
  210   280   350
  135   324   351
  225   272   353
  213   284   355
  156   320   356
  168   315   357
  216   288   360
   38   360   362
  140   336   364
   27   364   365
   76   357   365
  219   292   365
  240   275   365
   66   360   366
   81   360   369
  114   352   370
  120   350   370
  208   306   370
  222   296   370
  196   315   371
  252   275   373
  176   330   374
  105   360   375
  132   351   375
  225   300   375
  135   352   377
  145   348   377
  152   345   377
  260   273   377
  228   304   380
  231   308   385
  190   336   386
  260   288   388
  189   340   389
   96   378   390
  150   360   390
  198   336   390
  234   312   390
  184   345   391
   56   390   394
  237   316   395
  228   325   397
  112   384   400
  240   320   400
   40   399   401
  155   372   403
   80   396   404
  243   324   405
  280   294   406
  132   385   407
  192   360   408
  120   391   409
   90   400   410
  168   374   410
  246   328   410
  266   312   410
  264   315   411
  249   332   415
  160   384   416
  252   336   420
   29   420   421
  224   360   424
   65   420   425
   87   416   425
  119   408   425
  180   385   425
  200   375   425
  255   340   425
  297   304   425
   77   420   427
  165   396   429
  258   344   430
  145   408   433
   51   432   435
   72   429   435
  261   348   435
  300   315   435
  240   364   436
  288   330   438
  264   352   440
   42   440   442
  170   408   442
  208   390   442
  280   342   442
  144   420   444
   84   437   445
  195   400   445
  203   396   445
  267   356   445
  153   420   447
  280   351   449
  126   432   450
  270   360   450
   99   440   451
   60   448   452
  112   441   455
  175   420   455
  231   392   455
  273   364   455
  168   425   457
  120   442   458
  216   405   459
  276   368   460
  261   380   461
  320   336   464
  279   372   465
  210   416   466
  180   432   468
  282   376   470
  255   396   471
  133   456   475
  285   380   475
  224   420   476
  252   405   477
  288   384   480
   31   480   481
  156   455   481
  185   444   481
  319   360   481
  240   418   482
   44   483   485
   93   476   485
  291   388   485
  325   360   485
   88   480   488
  294   392   490
  108   480   492
  132   475   493
  155   468   493
  232   435   493
  340   357   493
  190   456   494
  297   396   495
  140   480   500
  176   468   500
  300   400   500
  100   495   505
  217   456   505
  303   404   505
  336   377   505
  195   468   507
  357   360   507
  220   459   509
   78   504   510
  216   462   510
  240   450   510
  306   408   510
  336   385   511
   64   510   514
  309   412   515
  168   490   518
  156   495   519
  128   504   520
  200   480   520
  264   448   520
  312   416   520
  279   440   521
  360   378   522
  147   504   525
  315   420   525
  248   465   527
   46   528   530
  192   494   530
  280   450   530
  318   424   530
   92   525   533
  117   520   533
  205   492   533
  308   435   533
  234   480   534
  321   428   535
  138   520   538
  324   432   540
  341   420   541
   57   540   543
  256   480   544
   33   544   545
  184   513   545
  300   455   545
  327   436   545
  210   504   546
  352   420   548
   99   540   549
  154   528   550
  330   440   550
  380   399   551
  230   504   554
  171   528   555
  180   525   555
  312   459   555
  333   444   555
  165   532   557
  215   516   559
  336   448   560
  264   495   561
  320   462   562
   75   560   565
  276   493   565
  339   452   565
  396   403   565
  231   520   569
  342   456   570
  220   528   572
  126   560   574
  161   552   575
  345   460   575
   48   575   577
  272   510   578
  322   480   578
  285   504   579
   68   576   580
   96   572   580
  348   464   580
  400   420   580
  390   432   582
  308   495   583
  384   440   584
  144   567   585
  225   540   585
  297   504   585
  351   468   585
  136   570   586
  354   472   590
   84   585   591
  192   560   592
  368   465   593
   91   588   595
  252   539   595
  280   525   595
  357   476   595
  204   560   596
  230   552   598
  168   576   600
  360   480   600
  240   551   601
  363   484   605
  120   594   606
  420   441   609
  110   600   610
  272   546   610
  366   488   610
  414   448   610
  235   564   611
  288   540   612
   35   612   613
  135   600   615
  252   561   615
  369   492   615
  399   468   615
  105   608   617
  372   496   620
  273   560   623
  240   576   624
  175   600   625
  220   585   625
  336   527   625
  375   500   625
   50   624   626
  340   528   628
  100   621   629
  204   595   629
  296   555   629
  429   460   629
  378   504   630
  150   616   634
  381   508   635
  336   540   636
  245   588   637
  440   462   638
  384   512   640
  200   609   641
  387   516   645
  304   570   646
   72   646   650
  160   630   650
  182   624   650
  250   600   650
  330   560   650
  390   520   650
  408   506   650
  315   572   653
  360   546   654
  393   524   655
  144   640   656
  432   495   657
  396   528   660
  300   589   661
   63   660   663
  255   612   663
  312   585   663
  420   513   663
  399   532   665
  216   630   666
  460   483   667
  402   536   670
  121   660   671
  385   552   673
  350   576   674
  189   648   675
  405   540   675
  260   624   676
  476   480   676
   52   675   677
   90   672   678
  455   504   679
  104   672   680
  288   616   680
  320   600   680
  408   544   680
   37   684   685
  156   667   685
  411   548   685
  440   525   685
  180   663   687
  111   680   689
  265   636   689
  364   585   689
  400   561   689
  414   552   690
  208   660   692
  417   556   695
  480   504   696
  153   680   697
  185   672   697
  328   615   697
  455   528   697
  360   598   698
  315   624   699
  196   672   700
  420   560   700
  260   651   701
  270   648   702
  228   665   703
  423   564   705
  450   544   706
  140   693   707
  259   660   709
  426   568   710
  312   640   712
  336   630   714
  176   693   715
  275   660   715
  363   616   715
  429   572   715
  432   576   720
  360   627   723
   76   720   724
   85   720   725
  120   715   725
  203   696   725
  333   644   725
  364   627   725
  435   580   725
  500   525   725
  280   672   728
   54   728   730
  152   714   730
  438   584   730
  480   550   730
  344   645   731
  132   720   732
  108   725   733
  441   588   735
  162   720   738
  228   704   740
  240   700   740
  416   612   740
  444   592   740
  285   684   741
  392   630   742
  216   713   745
  255   700   745
  407   624   745
  447   596   745
  504   550   746
  352   660   748
  210   720   750
  264   702   750
  450   600   750
  270   704   754
  290   696   754
  304   690   754
  520   546   754
  453   604   755
  468   595   757
  456   608   760
   39   760   761
  420   637   763
  117   756   765
  324   693   765
  360   675   765
  459   612   765
  295   708   767
  481   600   769
  462   616   770
   96   765   771
  380   672   772
  195   748   773
  217   744   775
  465   620   775
  520   576   776
  252   735   777
  378   680   778
  171   760   779
  192   756   780
  300   720   780
  396   672   780
  468   624   780
  368   690   782
  540   567   783
   56   783   785
  273   736   785
  425   660   785
  471   628   785
  112   780   788
  474   632   790
  105   784   791
  143   780   793
  168   775   793
  305   732   793
  432   665   793
  456   650   794
   69   792   795
  288   741   795
  420   675   795
  477   636   795
  555   572   797
  376   705   799
  224   768   800
  480   640   800
  351   720   801
   80   798   802
  528   605   803
  483   644   805
  310   744   806
  207   780   807
  160   792   808
  280   759   809
  486   648   810
  560   588   812
  264   770   814
  489   652   815
  384   720   816
  240   782   818
  315   756   819
  180   800   820
  336   748   820
  492   656   820
  532   624   820
  429   700   821
  528   630   822
  231   792   825
  495   660   825
  540   629   829
  498   664   830
  345   756   831
  320   768   832
  392   735   833
  501   668   835
  504   672   840
   41   840   841
  580   609   841
   58   840   842
  480   693   843
  116   837   845
  123   836   845
  208   819   845
  325   780   845
  429   728   845
  507   676   845
  595   600   845
  448   720   848
  130   840   850
  174   832   850
  238   816   850
  360   770   850
  400   750   850
  510   680   850
  594   608   850
  276   805   851
  205   828   853
  154   840   854
  513   684   855
  232   825   857
  330   792   858
  516   688   860
  189   840   861
  260   825   865
  287   816   865
  504   703   865
  519   692   865
  290   816   866
  408   765   867
  483   720   867
  102   864   870
  144   858   870
  522   696   870
  600   630   870
  335   804   871
  480   728   872
  585   648   873
  245   840   875
  308   819   875
  525   700   875
  576   660   876
  348   805   877
  204   855   879
  528   704   880
  369   800   881
   84   880   884
  340   816   884
  416   780   884
  560   684   884
  531   708   885
  288   840   888
  168   874   890
  390   800   890
  406   792   890
  534   712   890
  306   840   894
  537   716   895
  345   828   897
  560   702   898
  620   651   899
  252   864   900
  540   720   900
   60   899   901
  424   795   901
  451   780   901
  476   765   901
  198   880   902
  120   896   904
   95   900   905
  464   777   905
  543   724   905
  616   663   905
  180   891   909
  224   882   910
  350   840   910
  462   784   910
  546   728   910
  336   850   914
  165   900   915
  408   819   915
  549   732   915
  621   672   915
  240   884   916
  432   810   918
  552   736   920
  522   760   922
  355   852   923
   43   924   925
  259   888   925
  285   880   925
  300   875   925
  520   765   925
  533   756   925
  555   740   925
  640   672   928
  129   920   929
  558   744   930
  420   832   932
  143   924   935
  396   847   935
  440   825   935
  561   748   935
  360   864   936
  215   912   937
   75   936   939
  564   752   940
  580   741   941
  510   792   942
  207   920   943
  567   756   945
  301   900   949
  365   876   949
  420   851   949
  624   715   949
  266   912   950
  570   760   950
  225   924   951
  448   840   952
  615   728   953
  504   810   954
  573   764   955
  660   693   957
  616   735   959
  576   768   960
   62   960   962
  312   910   962
  370   888   962
  638   720   962
  480   836   964
  124   957   965
  387   884   965
  475   840   965
  579   772   965
  456   855   969
   88   966   970
  186   952   970
  582   776   970
  650   720   970
  108   969   975
  240   945   975
  273   936   975
  375   900   975
  495   840   975
  585   780   975
  612   759   975
  176   960   976
  248   945   977
  429   880   979
  588   784   980
  540   819   981
  216   960   984
  140   975   985
  473   864   985
  591   788   985
  696   697   985
  264   950   986
  310   936   986
  464   870   986
  680   714   986
  380   912   988
  594   792   990
  597   796   995
  372   925   997
  324   945   999
  280   960  1000
  352   936  1000
  600   800  1000

Posted by Charlie on 2006-03-21 09:17:16