All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars    
perplexus dot info

Home > Just Math
Triangular Triangulation (Posted on 2014-08-30) Difficulty: 3 of 5
Define T(N) as the Nth triangular number.

Each of X and Y is a positive integer such that:
Each of T(X)+T(Y) and X+Y is a triangular number.

Does there exist an infinite number of pairs (X,Y) that satisfy the given conditions? Give reasons for your answer.

No Solution Yet Submitted by K Sengupta    
No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
Some Thoughts They do seem to keep on coming -- no proof either way | Comment 1 of 4
DefDbl A-Z
Dim crlf$

Function mform$(x, t$)
  a$ = Format$(x, t$)
  If Len(a$) < Len(t$) Then a$ = Space$(Len(t$) - Len(a$)) & a$
  mform$ = a$
End Function
 
' 51372 96324      1319566878 4639204650 5958771528     147696
Private Sub Form_Load()
 ChDir "C:\Program Files (x86)\DevStudio\VB\projects\flooble"
 Text1.Text = ""
 crlf$ = Chr(13) + Chr(10)
 Form1.Visible = True
 DoEvents
 tot = 1
 For t = 2 To 1000
   tot = tot + t
   For x = 1 To tot / 2
     y = tot - x
     tx = x * (x + 1) / 2
     ty = y * (y + 1) / 2
     If isTri(tx + ty) Then
       Text1.Text = Text1.Text & mform(x, "#####0") & mform(y, "#####0") & "     " & mform(tx, "############0") & mform(ty, "############0")
       Text1.Text = Text1.Text & mform(tx + ty, "############0") & mform(tot, "############0") & crlf
       DoEvents
     End If
   Next
 Next

 Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"
End Sub

Function isTri(t)
n = Int(Sqr(t * 2))
np = n + 1
If n * np = 2 * t Then isTri = n Else isTri = 0
End Function



finds many, many results, starting with

     x     y               T(x)         T(y)       T(x)+T(y)     x+y
     6     9                21           45           66           15
    14    14               105          105          210           28
    10    26                55          351          406           36
    12    24                78          300          378           36
    15    21               120          231          351           36
    17    49               153         1225         1378           66
    33    45               561         1035         1596           78
    36    69               666         2415         3081          105
    30    90               465         4095         4560          120
    44    76               990         2926         3916          120
    51    69              1326         2415         3741          120
    35   155               630        12090        12720          190
    81   109              3321         5995         9316          190
   108   145              5886        10585        16471          253
    95   230              4560        26565        31125          325
   150   201             11325        20301        31626          351
    91   315              4186        49770        53956          406
    80   355              3240        63190        66430          435
   186   249             17391        31125        48516          435
   126   370              8001        68635        76636          496
   172   324             14878        52650        67528          496
   221   275             24531        37950        62481          496
    53   475              1431       113050       114481          528
    45   516              1035       133386       134421          561
    87   474              3828       112575       116403          561
   126   435              8001        94830       102831          561
   171   390             14706        76245        90951          561
   220   341             24310        58311        82621          561
   240   321             28920        51681        80601          561
   274   287             37675        41328        79003          561
   189   406             17955        82621       100576          595
   161   469             13041       110215       123256          630
   135   531              9180       141246       150426          666
   174   492             15225       121278       136503          666
   285   381             40755        72771       113526          666
   109   594              5995       176715       182710          703
   153   550             11781       151525       163306          703
   244   459             29890       105570       135460          703
   286   494             41041       122265       163306          780
   351   469             61776       110215       171991          820
    98   805              4851       324415       329266          903
   183   720             16836       259560       276396          903
   
and stopping at the following only because the text box has reached its capacity at 923 results:

  2619 95284           3430890   4539567970   4542998860        97903
 41958 55945         880257861   1564949485   2445207346        97903
 43850 54053         961433175   1460890431   2422323606        97903
 16330 82016         133342615   3363353136   3496695751        98346
 37722 60624         711493503   1837665000   2549158503        98346
 47974 50372        1150776325   1268694378   2419470703        98346
 34516 64719         595694386   2094306840   2690001226        99235
  8340 91341          34781970   4171634811   4206416781        99681
 42720 56961         912520560   1622306241   2534826801        99681
 48895 50786        1195384960   1289634291   2485019251        99681
 23584 76544         278114320   2929530240   3207644560       100128
  1836 99189           1686366   4919278455   4920964821       101025
 41970 59055         880761435   1743776040   2624537475       101025
 43296 57729         937293456   1666347585   2603641041       101025
 29845 71630         445376935   2565464265   3010841200       101475
 10324 91602          53297650   4195509003   4248806653       101926
 27216 74710         370368936   2790829405   3161198341       101926
 35452 66474         628439878   2209429575   2837869453       101926
 22508 79870         253316286   3189648385   3442964671       102378
   782102049            306153   5207050225   5207356378       102831
 44070 58761         971104485   1726456941   2697561426       102831
 44631 58200         995985396   1693649100   2689634496       102831
 26370 76915         347701635   2957997070   3305698705       103285
 11150 92590          62166825   4286500345   4348667170       103740
 44655 59541         997056840   1772595111   2769651951       104196
 32438 72215         526128141   2607539220   3133667361       104653
 26837 78274         360125703   3063448675   3423574378       105111
 31800 73311         505635900   2687288016   3192923916       105111
 51274 53837        1314537175   1449238203   2763775378       105111
 16356 89214         133767546   3979613505   4113381051       105570
 19475 86555         189647550   3745927290   3935574840       106030
 22951 83079         263385676   3451101660   3714487336       106030
 26380 79650         347965390   3172101075   3520066465       106030
 39314 66716         772814955   2225545686   2998360641       106030
 45441 60589        1032464961   1835543755   2868008716       106030
  7617 98874          29013153   4888083375   4917096528       106491
 42756 63735         914059146   2031106980   2945166126       106491
 48399 58092        1171255800   1687369278   2858625078       106491
 24150 82803         291623325   3428209806   3719833131       106953
 
Shortening the output to just x and y allows more results to appear, 2415 of them, up to x=245804, y=254696.

  Posted by Charlie on 2014-08-30 14:46:28
Please log in:
Login:
Password:
Remember me:
Sign up! | Forgot password


Search:
Search body:
Forums (0)
Newest Problems
Random Problem
FAQ | About This Site
Site Statistics
New Comments (7)
Unsolved Problems
Top Rated Problems
This month's top
Most Commented On

Chatterbox:
Copyright © 2002 - 2017 by Animus Pactum Consulting. All rights reserved. Privacy Information