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Three Quotients and Integer Puzzle (Posted on 2015-06-03) Difficulty: 3 of 5
For how many ordered pairs (p,q) of positive integers with q < p ≤ 2015 is each of p/q, (p+1)/(q+1) and (p+2)/(q+2) an integer?

No Solution Yet Submitted by K Sengupta    
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Solution I get (with computer program) | Comment 3 of 4 |
I get 604. The 335 with q=1 agrees, but q=2 has 167 values of p, etc.


p  q  the three quotients
7 1    7 4 3
13 1    13 7 5
19 1    19 10 7
25 1    25 13 9
31 1    31 16 11
37 1    37 19 13
43 1    43 22 15
49 1    49 25 17
55 1    55 28 19
61 1    61 31 21
67 1    67 34 23
73 1    73 37 25
79 1    79 40 27
85 1    85 43 29
91 1    91 46 31
97 1    97 49 33
103 1    103 52 35
109 1    109 55 37
115 1    115 58 39
121 1    121 61 41
127 1    127 64 43
133 1    133 67 45
139 1    139 70 47
145 1    145 73 49
151 1    151 76 51
157 1    157 79 53
163 1    163 82 55
169 1    169 85 57
175 1    175 88 59
181 1    181 91 61
187 1    187 94 63
193 1    193 97 65
199 1    199 100 67
205 1    205 103 69
211 1    211 106 71
217 1    217 109 73
223 1    223 112 75
229 1    229 115 77
235 1    235 118 79
241 1    241 121 81
247 1    247 124 83
253 1    253 127 85
259 1    259 130 87
265 1    265 133 89
271 1    271 136 91
277 1    277 139 93
283 1    283 142 95
289 1    289 145 97
295 1    295 148 99
301 1    301 151 101
307 1    307 154 103
313 1    313 157 105
319 1    319 160 107
325 1    325 163 109
331 1    331 166 111
337 1    337 169 113
343 1    343 172 115
349 1    349 175 117
355 1    355 178 119
361 1    361 181 121
367 1    367 184 123
373 1    373 187 125
379 1    379 190 127
385 1    385 193 129
391 1    391 196 131
397 1    397 199 133
403 1    403 202 135
409 1    409 205 137
415 1    415 208 139
421 1    421 211 141
427 1    427 214 143
433 1    433 217 145
439 1    439 220 147
445 1    445 223 149
451 1    451 226 151
457 1    457 229 153
463 1    463 232 155
469 1    469 235 157
475 1    475 238 159
481 1    481 241 161
487 1    487 244 163
493 1    493 247 165
499 1    499 250 167
505 1    505 253 169
511 1    511 256 171
517 1    517 259 173
523 1    523 262 175
529 1    529 265 177
535 1    535 268 179
541 1    541 271 181
547 1    547 274 183
553 1    553 277 185
559 1    559 280 187
565 1    565 283 189
571 1    571 286 191
577 1    577 289 193
583 1    583 292 195
589 1    589 295 197
595 1    595 298 199
601 1    601 301 201
607 1    607 304 203
613 1    613 307 205
619 1    619 310 207
625 1    625 313 209
631 1    631 316 211
637 1    637 319 213
643 1    643 322 215
649 1    649 325 217
655 1    655 328 219
661 1    661 331 221
667 1    667 334 223
673 1    673 337 225
679 1    679 340 227
685 1    685 343 229
691 1    691 346 231
697 1    697 349 233
703 1    703 352 235
709 1    709 355 237
715 1    715 358 239
721 1    721 361 241
727 1    727 364 243
733 1    733 367 245
739 1    739 370 247
745 1    745 373 249
751 1    751 376 251
757 1    757 379 253
763 1    763 382 255
769 1    769 385 257
775 1    775 388 259
781 1    781 391 261
787 1    787 394 263
793 1    793 397 265
799 1    799 400 267
805 1    805 403 269
811 1    811 406 271
817 1    817 409 273
823 1    823 412 275
829 1    829 415 277
835 1    835 418 279
841 1    841 421 281
847 1    847 424 283
853 1    853 427 285
859 1    859 430 287
865 1    865 433 289
871 1    871 436 291
877 1    877 439 293
883 1    883 442 295
889 1    889 445 297
895 1    895 448 299
901 1    901 451 301
907 1    907 454 303
913 1    913 457 305
919 1    919 460 307
925 1    925 463 309
931 1    931 466 311
937 1    937 469 313
943 1    943 472 315
949 1    949 475 317
955 1    955 478 319
961 1    961 481 321
967 1    967 484 323
973 1    973 487 325
979 1    979 490 327
985 1    985 493 329
991 1    991 496 331
997 1    997 499 333
1003 1    1003 502 335
1009 1    1009 505 337
1015 1    1015 508 339
1021 1    1021 511 341
1027 1    1027 514 343
1033 1    1033 517 345
1039 1    1039 520 347
1045 1    1045 523 349
1051 1    1051 526 351
1057 1    1057 529 353
1063 1    1063 532 355
1069 1    1069 535 357
1075 1    1075 538 359
1081 1    1081 541 361
1087 1    1087 544 363
1093 1    1093 547 365
1099 1    1099 550 367
1105 1    1105 553 369
1111 1    1111 556 371
1117 1    1117 559 373
1123 1    1123 562 375
1129 1    1129 565 377
1135 1    1135 568 379
1141 1    1141 571 381
1147 1    1147 574 383
1153 1    1153 577 385
1159 1    1159 580 387
1165 1    1165 583 389
1171 1    1171 586 391
1177 1    1177 589 393
1183 1    1183 592 395
1189 1    1189 595 397
1195 1    1195 598 399
1201 1    1201 601 401
1207 1    1207 604 403
1213 1    1213 607 405
1219 1    1219 610 407
1225 1    1225 613 409
1231 1    1231 616 411
1237 1    1237 619 413
1243 1    1243 622 415
1249 1    1249 625 417
1255 1    1255 628 419
1261 1    1261 631 421
1267 1    1267 634 423
1273 1    1273 637 425
1279 1    1279 640 427
1285 1    1285 643 429
1291 1    1291 646 431
1297 1    1297 649 433
1303 1    1303 652 435
1309 1    1309 655 437
1315 1    1315 658 439
1321 1    1321 661 441
1327 1    1327 664 443
1333 1    1333 667 445
1339 1    1339 670 447
1345 1    1345 673 449
1351 1    1351 676 451
1357 1    1357 679 453
1363 1    1363 682 455
1369 1    1369 685 457
1375 1    1375 688 459
1381 1    1381 691 461
1387 1    1387 694 463
1393 1    1393 697 465
1399 1    1399 700 467
1405 1    1405 703 469
1411 1    1411 706 471
1417 1    1417 709 473
1423 1    1423 712 475
1429 1    1429 715 477
1435 1    1435 718 479
1441 1    1441 721 481
1447 1    1447 724 483
1453 1    1453 727 485
1459 1    1459 730 487
1465 1    1465 733 489
1471 1    1471 736 491
1477 1    1477 739 493
1483 1    1483 742 495
1489 1    1489 745 497
1495 1    1495 748 499
1501 1    1501 751 501
1507 1    1507 754 503
1513 1    1513 757 505
1519 1    1519 760 507
1525 1    1525 763 509
1531 1    1531 766 511
1537 1    1537 769 513
1543 1    1543 772 515
1549 1    1549 775 517
1555 1    1555 778 519
1561 1    1561 781 521
1567 1    1567 784 523
1573 1    1573 787 525
1579 1    1579 790 527
1585 1    1585 793 529
1591 1    1591 796 531
1597 1    1597 799 533
1603 1    1603 802 535
1609 1    1609 805 537
1615 1    1615 808 539
1621 1    1621 811 541
1627 1    1627 814 543
1633 1    1633 817 545
1639 1    1639 820 547
1645 1    1645 823 549
1651 1    1651 826 551
1657 1    1657 829 553
1663 1    1663 832 555
1669 1    1669 835 557
1675 1    1675 838 559
1681 1    1681 841 561
1687 1    1687 844 563
1693 1    1693 847 565
1699 1    1699 850 567
1705 1    1705 853 569
1711 1    1711 856 571
1717 1    1717 859 573
1723 1    1723 862 575
1729 1    1729 865 577
1735 1    1735 868 579
1741 1    1741 871 581
1747 1    1747 874 583
1753 1    1753 877 585
1759 1    1759 880 587
1765 1    1765 883 589
1771 1    1771 886 591
1777 1    1777 889 593
1783 1    1783 892 595
1789 1    1789 895 597
1795 1    1795 898 599
1801 1    1801 901 601
1807 1    1807 904 603
1813 1    1813 907 605
1819 1    1819 910 607
1825 1    1825 913 609
1831 1    1831 916 611
1837 1    1837 919 613
1843 1    1843 922 615
1849 1    1849 925 617
1855 1    1855 928 619
1861 1    1861 931 621
1867 1    1867 934 623
1873 1    1873 937 625
1879 1    1879 940 627
1885 1    1885 943 629
1891 1    1891 946 631
1897 1    1897 949 633
1903 1    1903 952 635
1909 1    1909 955 637
1915 1    1915 958 639
1921 1    1921 961 641
1927 1    1927 964 643
1933 1    1933 967 645
1939 1    1939 970 647
1945 1    1945 973 649
1951 1    1951 976 651
1957 1    1957 979 653
1963 1    1963 982 655
1969 1    1969 985 657
1975 1    1975 988 659
1981 1    1981 991 661
1987 1    1987 994 663
1993 1    1993 997 665
1999 1    1999 1000 667
2005 1    2005 1003 669
2011 1    2011 1006 671
14 2    7 5 4
26 2    13 9 7
38 2    19 13 10
50 2    25 17 13
62 2    31 21 16
74 2    37 25 19
86 2    43 29 22
98 2    49 33 25
110 2    55 37 28
122 2    61 41 31
134 2    67 45 34
146 2    73 49 37
158 2    79 53 40
170 2    85 57 43
182 2    91 61 46
194 2    97 65 49
206 2    103 69 52
218 2    109 73 55
230 2    115 77 58
242 2    121 81 61
254 2    127 85 64
266 2    133 89 67
278 2    139 93 70
290 2    145 97 73
302 2    151 101 76
314 2    157 105 79
326 2    163 109 82
338 2    169 113 85
350 2    175 117 88
362 2    181 121 91
374 2    187 125 94
386 2    193 129 97
398 2    199 133 100
410 2    205 137 103
422 2    211 141 106
434 2    217 145 109
446 2    223 149 112
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1694 14    121 113 106
604


DefDbl A-Z
Dim crlf$



Private Sub Form_Load()
 Form1.Visible = True
 
 Text1.Text = ""
 crlf = Chr$(13) + Chr$(10)

 For q = 1 To 2015
   For r = 2 To 2015
     p = q * r
     If p > 2015 Then Exit For
     If (p + 1) / (q + 1) = Int((p + 1) / (q + 1)) Then
       If (p + 2) / (q + 2) = Int((p + 2) / (q + 2)) Then
         Text1.Text = Text1.Text & p & Str(q)
         Text1.Text = Text1.Text & "    " & p / q & Str((p + 1) / (q + 1)) & Str((p + 2) / (q + 2)) & crlf
         DoEvents
         ct = ct + 1
       End If
     End If
   Next
 Next q
 
 Text1.Text = Text1.Text & ct & crlf & " done"
  
End Sub


  Posted by Charlie on 2015-06-03 15:56:14
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