All about flooble | fun stuff | Get a free chatterbox | Free JavaScript | Avatars
 perplexus dot info

 Sum Equality and Perfect Square (Posted on 2015-10-25)
Each of P, Q and R is a nonzero integer such that:
• P+Q+R = P*Q + Q*R + R*P and,
• P + Q + R is a perfect square.
Find the four smallest values of abs(P*Q*R)

*** abs(x) refers to the absolute value of x.

 No Solution Yet Submitted by K Sengupta No Rating

Comments: ( Back to comment list | You must be logged in to post comments.)
 computer solution Comment 2 of 2 |
In order of total abs(P)+abs(Q)+abs(R) up to that totalling 10,000:

`abs(product)       P Q   R           384    -4 8 12         21504    -16 24 56        120000    -30 50 80        109824    -22 26 192        428064    -42 56 182       1077504    -64 122 138       5040000    -100 140 360       4472160    -88 110 462      15205344    -154 264 374       8163264    -102 122 656      38385984    -208 338 546      40903104    -214 362 528      30474240    -160 192 992      79236864    -238 306 1088     153842304    -264 308 1892     574080000    -520 920 1200      21859200    -88 92 2700     136819584    -216 236 2684     814118304    -552 782 1886      68465664    -144 152 3128     696009600    -468 572 2600     373699584    -328 368 3096    1546406784    -676 936 2444     622797504    -406 464 3306    2610854784    -856 1436 2124    2921673600    -900 1772 1832    2577429504    -808 1136 2808    3304387584    -904 1368 2672    3707956224    -952 1512 2576    4213730304    -1008 1736 2408    2129857344    -592 666 5402    9831972864    -1344 2432 3008    4172186304    -814 962 5328   12347744640    -1428 2312 3740   14837592384    -1462 2096 4842   17722609344    -1584 2402 4658   23525262144    -1798 3258 4016   14361600000    -1360 1760 6000   24237031104    -1822 3536 3762   13845395904    -1264 1538 7122`

Since it's in order of total of the absolute values rather than product, we can't be fully sure (unless someone has a proof) that the lowest four products are included, but you can see that so far the size of the numbers has occasionally gone back one digit, but no farther.  Putting these into product order:

`abs(product)       P Q   R           384    -4 8 12         21504    -16 24 56        109824    -22 26 192        120000    -30 50 80        428064    -42 56 182       1077504    -64 122 138       4472160    -88 110 462       5040000    -100 140 360       8163264    -102 122 656      15205344    -154 264 374      21859200    -88 92 2700      30474240    -160 192 992      38385984    -208 338 546      40903104    -214 362 528      68465664    -144 152 3128      79236864    -238 306 1088     136819584    -216 236 2684     153842304    -264 308 1892     373699584    -328 368 3096     574080000    -520 920 1200     622797504    -406 464 3306     696009600    -468 572 2600     814118304    -552 782 1886    1546406784    -676 936 2444    2129857344    -592 666 5402    2577429504    -808 1136 2808    2610854784    -856 1436 2124    2921673600    -900 1772 1832    3304387584    -904 1368 2672    3707956224    -952 1512 2576    4172186304    -814 962 5328    4213730304    -1008 1736 2408    9831972864    -1344 2432 3008   12347744640    -1428 2312 3740   13845395904    -1264 1538 7122   14361600000    -1360 1760 6000   14837592384    -1462 2096 4842   17722609344    -1584 2402 4658   23525262144    -1798 3258 4016   24237031104    -1822 3536 3762`

The lowest four products are    384, 21504, 109824 and 120000.

DefDbl A-Z
Dim crlf\$

Function mform\$(x, t\$)
a\$ = Format\$(x, t\$)
If Len(a\$) < Len(t\$) Then a\$ = Space\$(Len(t\$) - Len(a\$)) & a\$
mform\$ = a\$
End Function

Form1.Visible = True

Text1.Text = ""
crlf = Chr\$(13) + Chr\$(10)

For tot = 3 To 10000
DoEvents
For p0 = 1 To tot / 3
For q0 = p0 To (tot - p0) / 2
r0 = tot - p0 - q0
For p = -p0 To p0 Step 2 * p0
For q = -q0 To q0 Step 2 * q0
For r = -r0 To r0 Step 2 * r0
If p + q + r = p * q + q * r + r * p Then
sq = p + q + r
If sq >= 0 Then
sr = Int(Sqr(sq) + 0.5)
If sr * sr = sq Then
Text1.Text = Text1.Text & mform(Abs(p * q * r), "#############0") & "    " & p & Str(q) & Str(r) & crlf
End If
End If
End If
Next
Next
Next
Next
Next
Next

Text1.Text = Text1.Text & crlf & " done"

End Sub

 Posted by Charlie on 2015-10-25 14:44:58

 Search: Search body:
Forums (0)