The quadratic equation x^2-3x+2=0 has the "correct" number of solutions modulo 5 and 7. However, modulo 6 the equation has four solutions; namely, 1, 2, 4, and 5. For what positive integers n does the equation x^2-3x+2=0 have exactly two incongruent solutions modulo n?
The following bases (less than or equal to 700) work:
2 3 4 5 7 8 9 11 13 16 17 19 23 25 27 29 31 32 37 41 43
47 49 53 59 61 64 67 71 73 79 81 83 89 97 101 103 107 109
113 121 125 127 128 131 137 139 149 151 157 163 167 169 173 179
181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 243 251 256 257
263 269 271 277 281 283 289 293 307 311 313 317 331 337 343 347
349 353 359 361 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 512 521 523
529 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619
625 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691
The following don't:
6 10 12 14 15 18 20 21 22 24 26 28 30 33 34 35 36 38 39 40
42 44 45 46 48 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 65 66 68 69
70 72 74 75 76 77 78 80 82 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95
96 98 99 100 102 104 105 106 108 110 111 112 114 115 116 117
118 119 120 122 123 124 126 129 130 132 133 134 135 136 138 140
141 142 143 144 145 146 147 148 150 152 153 154 155 156 158 159
160 161 162 164 165 166 168 170 171 172 174 175 176 177 178 180
182 183 184 185 186 187 188 189 190 192 194 195 196 198 200 201
202 203 204 205 206 207 208 209 210 212 213 214 215 216 217 218
219 220 221 222 224 225 226 228 230 231 232 234 235 236 237 238
240 242 244 245 246 247 248 249 250 252 253 254 255 258 259 260
261 262 264 265 266 267 268 270 272 273 274 275 276 278 279 280
282 284 285 286 287 288 290 291 292 294 295 296 297 298 299 300
301 302 303 304 305 306 308 309 310 312 314 315 316 318 319 320
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 332 333 334 335 336 338
339 340 341 342 344 345 346 348 350 351 352 354 355 356 357 358
360 362 363 364 365 366 368 369 370 371 372 374 375 376 377 378
380 381 382 384 385 386 387 388 390 391 392 393 394 395 396 398
399 400 402 403 404 405 406 407 408 410 411 412 413 414 415 416
417 418 420 422 423 424 425 426 427 428 429 430 432 434 435 436
437 438 440 441 442 444 445 446 447 448 450 451 452 453 454 455
456 458 459 460 462 464 465 466 468 469 470 471 472 473 474 475
476 477 478 480 481 482 483 484 485 486 488 489 490 492 493 494
495 496 497 498 500 501 502 504 505 506 507 508 510 511 513 514
515 516 517 518 519 520 522 524 525 526 527 528 530 531 532 533
534 535 536 537 538 539 540 542 543 544 545 546 548 549 550 551
552 553 554 555 556 558 559 560 561 562 564 565 566 567 568 570
572 573 574 575 576 578 579 580 581 582 583 584 585 586 588 589
590 591 592 594 595 596 597 598 600 602 603 604 605 606 608 609
610 611 612 614 615 616 618 620 621 622 623 624 626 627 628 629
630 632 633 634 635 636 637 638 639 640 642 644 645 646 648 649
650 651 652 654 655 656 657 658 660 662 663 664 665 666 667 668
669 670 671 672 674 675 676 678 679 680 681 682 684 685 686 687
688 689 690 692 693 694 695 696 697 698 699 700
The ones that work seem to be integral powers of primes.
DEFLNG A-Z
mx = 700
CLS
FOR bs = 2 TO mx
ct = 0
FOR x = 0 TO bs - 1
y = (x * x - 3 * x + 2) MOD bs
IF y = 0 THEN ct = ct + 1
NEXT x
IF ct = 2 THEN PRINT bs;
NEXT bs
PRINT : PRINT
FOR bs = 2 TO mx
ct = 0
FOR x = 0 TO bs - 1
y = (x * x - 3 * x + 2) MOD bs
IF y = 0 THEN ct = ct + 1
NEXT x
IF ct <> 2 THEN PRINT bs;
NEXT bs
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Posted by Charlie
on 2005-09-03 18:22:16 |
bases that work; and those that don't
