(A) Determine the total number of ways in which 10²⁰¹⁰(base ten) is expressible as the product of:

(I) Four distinct positive integers arranged in increasing order of magnitude.

(II) Five distinct positive integers arranged in increasing order of magnitude.

(III) Six distinct positive integers arranged in increasing order of magnitude.

(B) What are the respective answers to each of (I), (II) and (III) in part-(A), if 10²⁰¹⁰(base ten) is replaced by 10²⁰¹⁰(base 12)?

(In reply to Solution of simple problem by Jer)

"10^n is expressible as the product of

(-I) Four distinct positive integers arranged in increasing order of magnitude.

in [(n+1)^2/2] ways."

so for n=5, 100000 would be expressible in [6^2/2] = 18 ways.

But here are 104:

1  2  4  12500
1  2  5  10000
1  2  8  6250
1  2  10  5000
1  2  16  3125
1  2  20  2500
1  2  25  2000
1  2  40  1250
1  2  50  1000
1  2  80  625
1  2  100  500
1  2  125  400
1  2  200  250
1  4  5  5000
1  4  8  3125
1  4  10  2500
1  4  20  1250
1  4  25  1000
1  4  40  625
1  4  50  500
1  4  100  250
1  4  125  200
1  5  8  2500
1  5  10  2000
1  5  16  1250
1  5  20  1000
1  5  25  800
1  5  32  625
1  5  40  500
1  5  50  400
1  5  80  250
1  5  100  200
1  5  125  160
1  8  10  1250
1  8  20  625
1  8  25  500
1  8  50  250
1  8  100  125
1  10  16  625
1  10  20  500
1  10  25  400
1  10  40  250
1  10  50  200
1  10  80  125
1  10  100  100
1  16  25  250
1  16  50  125
1  20  25  200
1  20  40  125
1  20  50  100
1  25  32  125
1  25  40  100
1  25  50  80
1  40  50  50
2  4  5  2500
2  4  10  1250
2  4  20  625
2  4  25  500
2  4  50  250
2  4  100  125
2  5  8  1250
2  5  10  1000
2  5  16  625
2  5  20  500
2  5  25  400
2  5  40  250
2  5  50  200
2  5  80  125
2  5  100  100
2  8  10  625
2  8  25  250
2  8  50  125
2  10  20  250
2  10  25  200
2  10  40  125
2  10  50  100
2  16  25  125
2  20  25  100
2  20  50  50
2  25  40  50
4  5  8  625
4  5  10  500
4  5  20  250
4  5  25  200
4  5  40  125
4  5  50  100
4  8  25  125
4  10  20  125
4  10  25  100
4  10  50  50
4  20  25  50
5  8  10  250
5  8  20  125
5  8  25  100
5  8  50  50
5  10  16  125
5  10  20  100
5  10  25  80
5  10  40  50
5  16  25  50
5  20  25  40
8  10  25  50
8  20  25  25
10  16  25  25

  10   Goal=100000
  20   Mingoal=int(sqrt(sqrt(Goal)))
  30   for Dvr1=1 to Mingoal
  40   if Goal @ Dvr1=0 then
  50     :Subgoal1=Goal//Dvr1
  60     :Mingoal1=int(Subgoal1^(1/3))
  70     :for Dvr2=Dvr1+1 to Mingoal1
  80        :if Subgoal1 @ Dvr2=0 then
  90          :Subgoal2=Subgoal1//Dvr2
 100          :Mingoal2=int(sqrt(Subgoal2))
 110          :for Dvr3=Dvr2+1 to Mingoal2
 120            :if Subgoal2 @ Dvr3=0 then
 130               :Dvr4=Subgoal2//Dvr3
 140               :print Dvr1;Dvr2;Dvr3;Dvr4:Ct=Ct+1
 145            :if Ct @ 40=0 then stop:endif
 150            :endif
 160          :next
 170        :endif
 180      :next
 190    :endif
 200    next
 210    print Ct

Edited on March 21, 2011, 5:10 pm

Posted by Charlie on 2011-03-21 17:07:00