DEFDBL A-Z
CLS
psgn = 1
qsgn = 1
FOR term = 1 TO 10000000
  IF term MOD 3 <> 0 THEN
    IF term < 15 THEN PRINT term, psgn, qsgn,
    p = p + psgn / (term * term)
    psgn = -psgn
    q = q + qsgn / (term * term)
    IF term < 15 THEN PRINT p, q
  ELSE
    qsgn = -qsgn
  END IF
  IF term MOD 300000 = 0 THEN PRINT term, p; q, p / q
NEXT term

For verification, the first few counted numbered terms are listed below. The sign values are just that: the sign for the individual term. The term number itself is the value whose -2 power is used. The resulting new values for p and q are also shown.

        sign     new value of
term    for          p                q
       p    q 
        term
1      1    1    1                 1
2     -1    1    .75               1.25
4      1   -1    .8125             1.1875
5     -1   -1    .7725             1.1475
7      1    1    .7929081632653061 1.167908163265306
8     -1    1    .7772831632653061 1.183533163265306
10     1   -1    .7872831632653061 1.173533163265306
11    -1   -1    .7790187004553888 1.165268700455389
13     1    1    .7849358602187024 1.171185860218702
14    -1    1    .7798338194023759 1.176287901035029

Thereafter, the new values of p and q are shown and the ratio:

terms                p                  q                    p/q
300000        .7813024128927771  1.17195361933365       .6666666666698045
600000        .7813024128955468  1.171953619341942      .6666666666674507
900000        .7813024128960609  1.171953619343496      .6666666666670052
1200000       .781302412896241   1.171953619344027      .6666666666668568
1500000       .7813024128963236  1.171953619344282      .6666666666667824
1800000       .7813024128963656  1.17195361934441       .6666666666667452
2100000       .7813024128963912  1.171953619344497      .6666666666667179
2400000       .7813024128964099  1.171953619344551      .6666666666667029
2700000       .7813024128964228  1.171953619344587      .6666666666666937
3000000       .7813024128964318  1.171953619344614      .6666666666666857
3300000       .7813024128964384  1.171953619344636      .6666666666666791
3600000       .7813024128964421  1.171953619344649      .6666666666666746
3900000       .7813024128964461  1.171953619344662      .6666666666666704
4200000       .7813024128964483  1.171953619344672      .6666666666666666
4500000       .7813024128964513  1.17195361934468       .6666666666666649
4800000       .7813024128964529  1.171953619344688      .6666666666666619
5100000       .7813024128964536  1.171953619344694      .6666666666666589
5400000       .7813024128964545  1.171953619344699      .666666666666657
5700000       .7813024128964554  1.171953619344702      .6666666666666562
6000000       .7813024128964572  1.171953619344705      .666666666666656
6300000       .7813024128964581  1.171953619344708      .666666666666655
6600000       .7813024128964582  1.17195361934471       .6666666666666536
6900000       .7813024128964585  1.171953619344711      .6666666666666533
7200000       .7813024128964587  1.171953619344713      .6666666666666525
7500000       .781302412896459   1.171953619344715      .6666666666666516
7800000       .7813024128964596  1.171953619344715      .666666666666652
8100000       .7813024128964599  1.171953619344716      .6666666666666516
8400000       .7813024128964601  1.171953619344717      .6666666666666513
8700000       .7813024128964605  1.171953619344718      .666666666666651
9000000       .7813024128964609  1.171953619344719      .666666666666651
9300000       .7813024128964612  1.17195361934472       .6666666666666508
9600000       .7813024128964612  1.17195361934472       .6666666666666504
9900000       .7813024128964612  1.171953619344721      .6666666666666502

p/q seems to converge on 2/3.